CHƯƠNG 2 MÔĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP
3.3. Khi nào môđun nội xạ trực tiếp đơn là môđun C3?
Bổ đề 3.3.1. Tổng trực tiếp của các môđun nội xạ là nội xạ trực tiếp
đơn.
Chứng minh.
Cho M = L
i∈IEi với Ei là môđun nội xạ và cho A ∼= B⊆⊕M với
A, B là các môđun con đơn của M. Vì B là đơn, B⊆⊕(L
i∈F Ei) với tập hữu hạn F ⊆ I. Vì vậy B là nội xạ nên A là nội xạ và A⊆⊕M.
Bổ đề 3.3.2. Các mệnh đề sau đây là đúng:
(1). Nếu M = M1 ⊕ M2 là môđun C3 và f : M1 → M2 là đơn cấu
thì Imf⊆⊕M2.
(2). Nếu M ⊕M là mơđun C3 thì M là môđun C2.
Bổ đề 3.3.3. Nếu M là mơđun khơng phân tích được mà nó khơng
đơn thì M ⊕E(M) là nội xạ trực tiếp đơn.
Cho N = M ⊕E với E = E(M). Ta chứng minh rằng N là nội xạ trực tiếp đơn, tức là chứng minh N khơng có các hạng tử trực tiếp đơn.
Ta chứng minh bằng phản chứng, giả sửX là hạng tử trực tiếp đơn của
N. Theo Bổ đề 1.1.22 ta cóendR(X) là vành địa phương,N = X+M0+E0
với M0 là là hạng tử trực tiếp của M và E0 là là hạng tử trực tiếp của E,
ta có thể viết E = E0⊕E00.
Nếu M0 6= 0thì M0 = M (vìM là mơđun khơng phân tích được). Khi đó, N = X+M+E0. Do đó, E00 ∼= N/(M ⊕E0) ∼= X là đơn. Ta cóM cốt yếu trong E,E00 ⊆ M và E00 là nội xạ nên E00 là hạng tử trực tiếp của M. Do đó, M = E00 là đơn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết M khơng đơn nên M0 = 0. Vì vậy N = X⊕E0 điều này nghĩa là M ⊕E00 ∼= N/E0 ∼= X mà E00 là đơn nên suy ra M là đơn (mâu thuẫn với giả thiết).
Một môđun được gọi là chuỗi tổng qt nếu các mơđun con của nó là một tập sắp thứ tự toàn phần. Một vành R được gọi là vành chuỗi tổng quát trái nếu RR là môđun chuỗi tổng quát. Một vành R được gọi là vành chuỗi tổng quát nếu cả RR và RR là tổng trực tiếp của các mơđun chuỗi tổng qt.
Định lí 3.3.4. Các mệnh đề sau là tương đương đối với vành R:
(1). Mọi R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn là môđun C3.
(2). Mọi R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn là tựa nội xạ.
(3). Mọi R-môđun phải là tổng trực tiếp của một môđun nửa đơn và
một họ các mơđun chuỗi tổng qt nội xạ có độ dài là 2.
(4). Mọi R-mơđun phải là tổng trực tiếp của một môđun nửa đơn và
một môđun nội xạ.
(5). R là vành Artin chuỗi với J(R)2 = 0.
Chứng minh.
(2) ⇒ (1). Rõ ràng.
chứng minh rằng R là nửa Artin phải. Giả sử ngược lại rằng M là R-
môđun phải với soc(M) = 0.
Nếu 0 6= N ⊆ M thì soc(N ⊕M) = 0 và N ⊕ M là nội xạ trực tiếp đơn. Theo giả thiết ta có N ⊕M là mơđun C3 và theo Bổ đề 3.3.2 thì ι : N ,→ M là đơn cấu chẻ ra. Điều này nghĩa là M là nửa đơn (mâu thuẫn với giả thiết). Vậy soc(M) 6= 0 với mọi R-môđun phải M. Nên R
là nửa Artin.
Tiếp theo ta chứng minh R là Nơte. Ta cần phải chứng minh rằng với bất kỳ họ các R-môđun phải đơn {Ki : i ∈ I}, M := L
i∈IE(Ki) là nội xạ. Theo Bổ đề 3.3.1 thì M ⊕E(M) là môđun C3 và ι : M ,→ E(M) là đơn cấu chẻ ra, nghĩa là M = E(M) là nội xạ. Vậy R là Nơte phải nên R
là Artin phải.
Kế tiếp ta chứng minh rằng mọi R-môđun phải nội xạ khơng phân
tích được E có duy nhất chuỗi tổng quát có độ dài tối đa 2. Lưu ý rằng
E có đế X đơn và E = E(X). Nếu E = X thì ta có điều cần chứng minh. Giả sử X ⊂ Y ⊆ E, ta cần chứng minh Y = E. Cho M = Y ⊕E, theo
Bổ đề 3.3.3 M là môđun nội xạ trực tiếp đơn nên M là mơđun C3. Vì vậy theo Bổ đề 3.3.2 ta có Y = E.
Sau đó ta cần chứng minh rằng mọi R-mơđun phải khơng phân tích
được hữu hạn sinh có duy nhất chuỗi tổng quát có độ dài tối đa 2. Cho
M là R-mơđun phải khơng phân tích được hữu hạn sinh. Vì R là Artin phải, MR là Artin nên M hữu hạn chiều. Nếu M là đơn thì ta có điều cần chứng minh. Nếu M khơng đơn thì theo Bổ đề 3.3.3 M = Y ⊕E(M) là môđun nội xạ trực tiếp đơn. Theo Bổ đề 3.3.2 ta có M = E(M) là nội xạ. Vì vậy, M là mơđun nội xạ khơng phân tích được, điều này tương đương
M có duy nhất chuỗi tổng quát có độ dài tối đa 2.
Cuối cùng ta xét một R-môđun phải M bất kỳ. Ta có R là Nơte phải,
M chứa một N mơđun con nội xạ cực đại. Giả sử M = N ⊕K, với K
không chứa các môđun con khác 0 nào. Môđun nội xạ N là tổng trực tiếp của các mơđun nội xạ khơng phân tích được với mỗi mơđun đều có
duy nhất chuỗi hợp thành có độ dài tối đa 2. Vì vậy, ta có sự phân tích
N = E1 ⊕E2, với E1 là nửa đơn và E2 là tổng trực tiếp của các mơđun chuỗi tổng qt nội xạ có độ dài 2.
Khơng mất tính tổng qt, ta giả sử rằng K là mơđun xyclic. Vì R
là Artin phải, K là Artin nên nó là tổng trực tiếp của các mơđun khơng phân tích được. Do đó, ta có thể giả sử rằng K là xyclic khơng phân tích được. Theo trên thì K là mơđun chuỗi tổng qt có độ dài tối đa 2. Nếu
K có độ dài 2 thì K = E(K) vì E(K) là mơđun chuỗi tổng qt có độ dài tối đa 2. Điều này mâu thuẫn với giả thiết K không chứa các môđun con khác 0 nào. Vậy K là đơn.
(3) ⇒ (2). Cho M là môđun nội xạ trực tiếp đơn và M = M1 ⊕M2
với M1 = L
α∈ΛNα là tổng trực tiếp của các môđun chuỗi tổng quát nội xạ có độ dài 2 và M2 = L
β∈ΓKβ là tổng trực tiếp của các môđun đơn. Lưu ý (3) kéo theo R là vành Artin phải, nên mọi tổng trực tiếp của các
R- môđun phải nội xạ là nội xạ. Do đó, M1 là nội xạ và M2 là tựa nội xạ nên để chứng minh M là tựa nội xạ thì [9, Proposition 1.17] ta chứng minh
M2 là M1-nội xạ. Theo [9, Proposition 1.5] thì M2 là M1-nội xạ khi và chỉ khi M2 là Nα-nội xạ với mọi α ∈ Λ. Vì R là vành Artin, M2 là Nα-nội xạ khi và chỉ khi Kβ là Nα-nội xạ với mọi β ∈ Γ. Vì vậy, ta cần chứng minh
rằng Kβ là Nα-nội xạ với mọi β ∈ Γ và α ∈ Λ. Giả sử f : X → Kβ là R-
đồng cấu khác 0 với X ⊆ Nα. Ta sẽ chứng minh f mở rộng đến Nα bởi giả thiết X = Nα. Nếu X ⊂ Nα thì X = soc(Nα) là đơn vì Nα là chuỗi tổng qt có độ dài 2. Vì vậy, X ∼= K
β⊆⊕M. Vì M là nội xạ trực tiếp đơn nên ⊆⊕M. Điều này nghĩa là X là hạng tử trực tiếp của Nα, mâu thuẫn với giả thiết. Vậy Kβ là Nα-nội xạ.
(3) ⇒ (4). Từ (3) suy ra R là vành Nơte phải, mọi tổng trực tiếp của
R-môđun nội xạ là nội xạ. Nên (3) kéo theo (4).
(4) ⇔ (5). Rõ ràng.[6, 13.5, page 124]
(4) + (5) ⇒(3). Vì R là vành Artin phải, mọi R- môđun phải nội xạ
chứng minh rằng mọi R-môđun phải đều M là chuỗi tổng quát có độ dài tối đa 2. Vì R là Artin phải, soc(M) là đơn. Nếu M là đơn thì ta có điều phải chứng minh. Giả sử M không đơn và cho soc(M) ⊂ X ⊆ M. Theo (4) X là đơn hoặc là nội xạ. Nhưng X khơng đơn. Vì vậy X là nội xạ và là hạng tử trực tiếp của M, nghĩa là M = X. Vậy M là chuỗi tổng quát có độ dài 2.
Lưu ý rằng: Vành R là vành chuỗi Artin với J(R)2 = 0 khi và chỉ khi mọi R-môđun phải là CS.
Hệ quả 3.3.5. Vành R là Artin nửa đơn khi và chỉ khi mọi R-môđun
phải nội xạ trực tiếp đơn là nội xạ. Chứng minh.
Nếu mọi R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn là nội xạ thì mọi R-
mơđun phải đơn là nội xạ, do đó R là V-vành. Nhưng theo Định lý 3.3.4
R là Artin nên R là Artin nửa đơn.
Tồn tại R là vành địa phương, vành chuỗi tổng quát trái Artin trái và phải với J(R)2 = 0 và R-môđun nội xạ trực tiếp đơn trái nhưng không
phải là môđun C3.
Ví dụ 3.3.6. Cho K là một trường và R là K-đại số bao gồm tất cả
các ma trận cấp 3×3 có dạng α1 α2 α3 0 α4 0 0 0 α5 ! ; αi ∈ K. Rõ ràng R là vành chuỗi tổng quát trái, Artin trái và phải, ta cần chứng minh rằng R
không phải là vành chuỗi tổng quát phải.
Nếu M = e11R thì M = e11K + e12K +e13K là các R-mơđun phải
khơng phân tích được, do đó M là mơđun nội xạ trực tiếp. Rõ ràng e11R
không đơn và cũng khơng nội xạ (vì e12K = e12R và e13K = e13R là các môđun con thực sự của e11R với e12R ∩ e13R = 0 ). Theo Bổ đề 3.3.3
e11R⊕E(e11R) là R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn và theo Bổ để 3.3.2 e11R ⊕E(e11R) khơng phải là mơđun C3. Vì vậy, theo Định lý 3.3.4 thì
R khơng là vành chuỗi tổng qt phải.