CHƯƠNG 2 MÔĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP
3.2. Đặc trưng của vành nội xạ trực tiếp đơn
Chúng ta đã biết rằng vành R được gọi là vành I-hữu hạn nếu RR
thoải điều kiện ACC trên các hạng tử trực tiếp và một iđêan phải I là bất biến hoàn toàn trong RR nếu và chỉ nếu I là iđêan hai phía. Vì vậy Hệ quả 3.1.8 cho ta kết quả sau.
Hệ quả 3.2.1. Cho R là vành I-hữu hạn. Khi đó, R là vành nội xạ
trực tiếp đơn khi và chỉ khi R ∼= R1×R2 với R1 là vành Artin nửa đơn và
soc(R2)2 = 0.
Định lí 3.2.2. Nếu R là vành nội xạ trực tiếp đơn phải thì R(I) là
R-môđun nội xạ trực tiếp đơn phải với bất kỳ tập chỉ số I. Chứng minh.
Cho A, B là các môđun con đơn con của R(I) với A ∼= B⊆⊕R(I). Ta cần chứng minh A⊆⊕R(I).
Cho f : R → A là một tồn cấu. Vì R(I) là xạ ảnh, A là xạ ảnh nên
f là tồn cấu chẻ ra. Do đó, A ∼= D⊆⊕R với D là một hạng tử trực tiếp của R.
Vì R là vành nội xạ trực tiếp đơn phải nên theo Bổ đề 3.1.12 thì D
là R-nội xạ đơn. Suy ra A là R-nội xạ đơn, theo Bổ đề 3.1.11 ta có A là
R(I)-nội xạ đơn. Do đó, phép đồng nhất ι : A → A mở rộng đến R(I) và
A⊆⊕R(I).
Hệ quả 3.2.3. Vành R là nội xạ trực tiếp đơn phải khi và chỉ khi
mọi R-môđun phải xạ ảnh là nội xạ trực tiếp đơn.
Định lí 3.2.4. Tính chất vành nội xạ trực tiếp đơn phải là tính chất
bất biến Morita. Chứng minh.
Giả sử R là vành nội xạ trực tiếp đơn phải. Ta cần chứng minh rằng với mọi n ≥ 1 và với bất kỳ e2 = e ∈ R với ReR = R,Mn(R) và eRe là các vành nội xạ trực tiếp đơn phải.
NếuP = (Rn)R vàS = endR(P)thìHomR(P,−) : NR 7→HomR(SPR, NR)
được định nghĩa là một tương đương Morita giữa Mod-R và Mod-S với nghịch đảo tương đương −⊗SP : MS → M ⊗P. Vì tương đương Morita bảo tồn điều kiện mơđun nội xạ trực tiếp đơn nên SS ∼= Hom(P, P)
nội xạ trực tiếp đơn khi và chỉ khi PR là nội xạ trực tiếp đơn. Theo Định lý 3.2.2 ta có P là nội xạ trực tiếp đơn từ đó suy ra S và Mn(R) là nội xạ trực tiếp đơn.
NếuP = (eR)R vàS = eRethìHomR(P,−) : NR 7→HomR(SPR, NR)
được định nghĩa là một tương đương Morita giữa Mod-R và Mod-S với nghịch đảo tương đương −⊗SP : MS → M ⊗P. Vì tương đương Morita bảo tồn điều kiện môđun nội xạ trực tiếp đơn, R là vành nội xạ trực tiếp đơn phải kéo theo S-môđun phải HomR(SPR, R) là nội xạ trực tiếp đơn. Tuy nhiên HomR(SPR, R) ∼= (Re)
S = [(1−e) Re⊕eRe]S nên nó được xem như hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ trực tiếp đơn. Vì vậy
SS là mơđun xạ trực tiếp đơn.