1.4.1. Mô hình vasicek
Mô hình Vasicek là mô hình toán học một nhân tố mô tả diễn biến của lãi suất. Nó biểu hiện những thay đổi của lãi suất đuợc dẫn dắt bởi rủi ro thị truờng. Mô hình này có thể đuợc sử dụng trong đánh giá các công cụ phái sinh lãi suất và nó cũng đã đuợc điều chỉnh cho các thị truờng tín dụng. Oldrich Vasicek giới thiệu nó vào năm 1977. Phuong trình đuợc biết duới dạng sau:
dr(t) = a(b - r(t))dt + σdW(t) (1.1) Trong đó: a, b, σ: là các tham số không âm.
W(t) là chuyển động Brown tuân theo phân bố chuẩn với giá trị trung bình là 0.
Tham số b chính là lãi suất danh nghĩa dài hạn. Khi lãi suất ngắn hạn lớn hon lãi
suất trung bình dài hạn thì hệ số phục hồi (b-r(t)) âm và đẩy lãi suất ngắn hạn về gần hon lãi suất trung bình dài hạn. Nguợc lại, hệ số phục hồi duong thì sẽ đẩy lãi suất về
giá trị b. Tham số a xác định tốc độ điều chỉnh và phải duong để đảm bảo rằng lãi suất
r(t) hội tụ về b. Với phuong sai không đổi σ2, r(t) sẽ dao động xung quanh b.
Đuờng cong lãi suất là biểu thị thực tế giữa lãi suất R(t, T) và thời gian t đến khi đáo hạn T. Để xây dựng đuờng cong lãi suất, trong các nghiên cứu truớc đó, Otta (2009) và Trần Hung Thảo (2003) biểu thị công thức:
P(t,T) = eA()-B(tT)r(t) (1.2) Trong đó:
(1.3)
Ri∣,T) =- τ¼(AtT)- Bl,TW)i T - t
Giả sử, chúng ta ước tính đường cong lãi suất tại thời điểm t = 0, chúng ta
RU,!) = R +ɪ(r(f) - R)(1 -e~°τ) + ⅛ (1 -e~"r)2, where R = i-⅛.
(4.4) Trong đó: r(t) là giá trị ban đầu của lãi suất.
Đây là phương trình cho thấy sự phụ thuộc của lãi suất R(t,T) vào thời điểm t đến khi đáo hạn T. Giá trái phiếu được xác định bằng cách chiết khấu thu nhập tương
lai của trái phiếu có thời gian đến hạn thanh toán T, và R(t, T) là lãi suất chiết khấu. Từ kết quả này, chúng ta thấy rõ ràng rằng khi T ÷∞, chúng ta nhận được limT^ ∞R(t,T) = R. Ngoài ra, Otta (2009) cho thấy dạng của đường cong lãi suất phụ thuộc vào dữ liệu đầu vào và kết quả hồi quy. Đường cong lãi suất có dạng đảo2
ngược khi r(t) > R+ ; nó có hình dạng ngày càng tăng (mẫu chuẩn) khi r(t)≤
4a
σ'2 2 σ2
R - và hình dạng uốn cong khi r(t) ∈ (R - ; R+ ] .Bởi vì khoảng tin cậy ở trên
4a 4a 4a
nhỏ nên hình dạng “bướu” của đường cong lãi suất rất hiếm gặp trong thực tế.
Để xác định đường cong lãi suất, đầu tiên, chúng ta tìm các giá trị của các tham số a, b và σ cho lãi suất thực trong khoảng thời gian [0,T].
Chúng ta hãy nhớ lại phương trình (4.1) và tích hợp nó từtk đếntk+1, trong đó k là giá trị niêm yết, tức là:tk∈ [0, T], k = 0, . . . , n. Do đó, chúng ta có được:
f^tk+i l‘tk+1
r⅛+ι = rfc I a(b - /∙(∕) )<1∕ I σdiv. where r⅛ = r(⅛). ri+ι =r(i⅛+ι).
ʃ* - (1.5)
Nhờ chương trình Euler, chúng ta có thể chọn một hàm hằng a(b-rk) để thay thế
nội suy giữa hai giá trị lãi suất rất nhỏ rk và rk+1 trong dạng
(1.6)
Sự xấp xỉ này chính xác và tự nhiên hơn công thức Euler và nó phù hợp với phương pháp xác định tham số Tích phân ngẫu nhiên có thể được giải thích:
(1.7)
Biết sự khác nhau∆Wk = W(tk+1) - W(tk) tuân theo quy luật phân phối chuẩn N(0, ∆t), vì vậy, chúng ta có thể mô hình hóa quá trình lãi suất này bằng các giá trị được lựa chọn ngẫu nhiên với phân phối chuẩn N(0,Δt).
Từ (1.5), (1.6) và (1.7), chúng ta có được các phương trình: ∣rk+1 = ark + ∣3 + 7∆l½e, k = 0,... ,n - 1 (1.8) Và 1 — y∆i ab∆t σ1 ., Λ , a — ---, β — ——7 = — and V —1 + V VV 2 (1.9) Hệ phương trình (1.8) có thể được giải quyết để tìm α, β và γ bằng phương pháp bình phương tối thiểu.
Đầu tiên, chúng ta có thể tìm giá trị của α và β bằng cách giải phương trình(1.8) trong trường hợp γ = 0. Chúng ta biểu thị:
','f≈ l> = ""'ll '■ l"r i = "■■ ■■" i (1.10)
Sau đó, g (t
k ) = r (t
k ) ~r (tk )
Do sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu, g(tk) có phân phối chuẩn với giá trị trung bình bằng không và phương sai dương v(g).
Nếu chúng ta giải phương trình với ΔWk= g(tk), chúng ta có cùng giá trị các tham
. 2 I-Ct U P S _ 2T
α = — - - -, O — —--- and σ — -—-—
∆i 1 + Ct 1 — a 1 + a (1.11)
Sau đó, chúng ta sẽ kiểm tra giá trị tham số gốc và dự đoán đường cong lãi suất cho thị trường trái phiếu.
1.4.2 Mô hình chênh lệch giá
Mô hình tự do chênh lệch giá có mục đích là xây dựng nên một cấu trúc kỳ hạn lý thuyết tương thích với cấu trúc thực tế quan sát được để khiến cho lãi suất hoàn vốn quan sát trên thị trường thì có giá trị bằng với lãi suất hoàn vốn được tính toán trên cơ sở mô hình. Bao gồm các mô hình: (1) Mô hình Ho-Lee; (2) Mô hình Hull-White; (3) Mô hình Black-Derman-Toy (BDT).
a. Mô hình Ho-Lee
Ho-Lee (1986) là một trong những nghiên cứu đầu tiên về mô hình tự do chênh lệch giá và sử dụng cách tiếp cận lưới nhị thức với hai tham số: độ lệch chuẩn của lãi suất ngắn hạn và phần bù rủi ro của lãi suất ngắn hạn. Mô hình của Ho-Lee sử dụng thông tin có sẵn từ cấu trúc kỳ hạn hiện hành quan sát được trên thị trường để tạo ra mô hình lý thuyết phù hợp nhất với cấu trúc kỳ hạn hiện hành quan sát được. Tuy nhiên, mô hình này ấn định mức biến động là như nhau cho các mức lãi suất giao ngay và mức lãi suất kỳ hạn nên cấu trúc biến động dạng này chỉ phù hợp với một số chủ thể tham gia thị trường nhất định. Bên cạnh đó, mô hình này cũng không đề cập được đến vấn đề hồi phục trung bình.
b. Mô hình Hull-White
Hull-White (1990) đã mở rộng mô hình Vasicek nhằm tạo ra một kết quả phản ánh chính xác nhất cấu trúc kỳ hạn hiện hành quan sát được trên thị trường. Mô hình Hull-White cũng được biết đến với tên gọi là mô hình Vasicek mở rộng.
Trong mô hình này quy trình lãi suất được mô tả như sau:
dr = a I — - r I dt+σdw(t) V a √
Trong đó a là tốc độ hồi phục trung bình của lãi suất và là hằng số, là độ lệch chuẩn của lãi suất và là hằng số. Tương tự mô hình Vasicek, lãi suất có tốc độ hồi
phục trung bình phụ thuộc thời gian. Neu nhu trong mô hình Vacisek a # 0 và =a.b trong đó b là một hằng số thì trong mô hình của Hull-White điều kiện khống chế đơn giản hơn chỉ với a # 0. ưu điểm của mô hình Hull-White là không những có thể phản ánh chính xác với cấu trúc kỳ hạn ban đầu là dữ liệu đầu vào của mô hình mà còn cả cấu trúc kỳ hạn có sự biến động mạnh.
c. Mô hình Black-Derman-Toy (BDT)
Trong các mô hình nói trên thì chỉ có tham số là một hàm số theo thời gian. Điều này có nghĩa là sự biến động của lãi suất ngắn hạn tỷ lệ với lãi suất ngắn hạn tức thời, cho nên tỷ lệ tuơng đối giữa mức độ biến động so với mức lãi suất là hằng số. Tuy nhiên, do trong mô hình BDT tốc độ thay đổi trung bình của lãi suất phức tạp hơn trong các mô hình mô tả ở trên, nên mô hình này đòi hỏi việc biểu diễn toán học phù hợp với cả cấu trúc kỳ hạn hiện hành và biến động lãi suất hiện hành. Mô hình này cũng phản ánh đuợc hiện tuợng hồi phục trung bình.
Về cơ bản, mô hình BDT dựa trên nhân tố then chốt là lãi suất ngắn hạn để hình thành cấu trúc kỳ hạn. Sử dụng cách tiếp cận cây nhị thức, trong đó nhánh thứ nhất đuợc dùng để tính lãi suất ngắn hạn hiện hành của các mức lãi suất ngắn hạn của một kỳ hạn trong tuơng lai. Sau đó, các mức lãi suất mới hình thành này sẽ tiếp tục đuợc sử dụng để tính ra các mức lãi suất cho hai giai đoạn tiếp theo. Việc tính toán cứ tiếp tục nhu vậy cho đến khi toàn bộ cấu trúc kỳ hạn đuợc hình thành.
1.4.3 Mô hình đa nhân tố
Mô hình đa nhân tố cho phép giải thích đuợc dạng thức thay đổi phi song song hoặc những thay đổi về độ dốc của đuờng cong. Trong nhóm này có: (1) Mô hình hai nhân tố; (2)Mô hình đa nhân tố Heath-Jarrow-Morton (HJM).
a. Mô hình hai nhân tố
Mô hình đa nhân tố ra đời sớm nhất là mô hình hai nhân tố của Brennan và Schwartz (1982). Mô hình này sử dụng hai nhân tố là quy luật thống kê của lãi suất ngắn hạn r và lãi suất hoàn vốn của các trái phiếu chính phủ dài hạn. Trong mô hình này, hai nhân tố này biến động độc lập nên cho phép việc dịch chuyển song song và phi song song của đuờng cong lãi suất hoàn vốn diễn ra.
Một mô hình hai nhân tố khác được phát triển trên cơ sở mô hình của Brennan và Schwartz là mô hình trong đó hai nhân tố được sử dụng là giá của trái phiếu dài hạn và độ chênh lệch giữa lãi suất hoàn vốn dài hạn và lãi suất ngắn hạn.
b. Mô hình đa nhân tố Heath-Jarrow-Morton (HJM)
Heath-Jarrow-Morton (1992) tiếp cận bằng cách mô hình hóa đường cong kỳ hạn như là một quá trình sinh ra từ toàn bộ đường cong hoàn vốn ban đầu chứ không chỉ đơn thuần dựa vào yếu tố lãi suất ngắn hạn. Trong đó, lãi suất giao ngay tuân theo quy luật thống kê và đường cong lãi suất hoàn vốn được tạo ra từ mô hình là một hàm của các nhân tố mang tính thống kê. Mô hình HJM sử dụng đường cong lãi suất hoàn vốn hiện hành và đường cong lãi suất hoàn vốn kỳ hạn để xác định quy luật thống kê theo thời gian liên tục nhằm mục đích mô tả sự phát triển của toàn bộ đường cong hoàn vốn qua từng giai đoạn thời gian cụ thể. Điểm cốt lõi trong mô hình của HJM là yếu tố đầu vào của mô hình là đường cong lãi suất kỳ hạn hiện hành và một hàm số mô tả được sự biến động theo quy luật thống kê của lãi suất kỳ hạn và trên cơ sở các yếu tố đó mô hình HJM cho phép xây dựng nên toàn bộ cấu trúc kỳ hạn của lãi suất.
1.4.4 Mô hình sử dụng phương pháp tham số
a. Mô hình Nelson - Siegel
Hiện nay hầu hết các tổ chức, quỹ đầu tư, các ngân hàng đầu tư, ngân hàng trung ương đều sử dụng mô hình Nelson và Siegel (1987) để ước lượng và dự báo đường cong lợi suất. Theo Ngân hàng thanh toán quốc tế BIS (2005) các ngân hàng Trung ương như Bỉ, Phần Lan, Pháp, Đức, Italia, Na Uy, Tây Ban Nha và Thuỵ Sĩ đều dùng mô hình này. Ngân hàng trung ương Châu Âu ECB cũng đưa ra đường cong này hàng ngày dựa trên mô hình của Soderlind và Svensson (1997) (mở rộng của mô hình Nelson - Siegel).
Ý tưởng ban đầu của phương pháp Nelson - Siegel (N&S) là ước lượng dạng của đường cong lợi suất bằng cách xem lãi suất giao ngay là hàm theo kỳ hạn của trái phiếu zero coupon.
Trước hết chúng ta có hàm số xác định hàm chiết khấu của lãi suất kỳ hạn tức thời. Ta có:
I m I I m I
ftm=β+β∕~τ ■βm~7t j
Trong đó: f là lãi suất kỳ hạn tức thời
m là thời gian đáo hạn
t là chỉ số thời gian
β; β; β2, τ là các tham số được ước lượng
(1)
Đường cong zero coupon hoặc đường cong lãi suất giao ngay được suy ra bằng cách lấy tích phân đường cong lãi suất kỳ vọng ở trên.
(2)
y √ y √
Tương đương với:
Λ ( mlʌ ( mI _ i τ _ I —“ I _l —“ I sm = β 0 +(β 1+ β2)~~1 - e τ - β 2e τ m I J
Trong đó: sm là lãi suất giao ngay với kỳ hạn m m là thời gian đáo hạn
t là chỉ số thời gian
β; β; β2, τ là các tham số được ước lượng
(3)
Đối với thời gian đáo hạn dài, lãi suất giao ngay và lãi suất kỳ hạn gần bằng
β0 nên suy ra hệ số này phải dương. (β + β)xác định giá trị ban đầu của đường
cong tại kỳ đáo hạn bằng 0; và tổng này cũng dương. Còn các tham số β2 và τ xác định các điểm “hump”. Độ lớn của điểm “hump” là trị tuyệt đối của β2 còn τ cho biết vị trí của điểm “hump”. Ở đây τ cũng dương, còn với β2, nếu âm thì đường cong có dạng chữ U, nếu dương thì có điểm “hump”.
Mô hình Nelson - Siegel gần đây được Diebold và Li (2006) cải tiến lại để viết cho trường hợp chung nhất đối với các loại lãi suất (lãi suất giao ngay của trái
phiếu zero coupon và lãi suất hoàn vốn của trái phiếu coupon) nhu sau:
Lãi suất hoàn vốn kí hiệu là yt (m) cho thời điểm t và kỳ hạn m. Với mỗi thời điểm t, đuờng cong lợi suất θt(m) là một hàm trơn. Trong đó lãi suất hoàn vốn là hàm theo kỳ hạn m. Công thức nhu sau:
θt (m) = θ(mλβ) = β.t + β1t (1 π~λm ʌ ÷- + β ^ λm J (1 - e~λm > e-λm (4) ^ λm J
Trong đó: β0,,βt,β2t là các tham số đuợc uớc luợng
So sánh với mô hình của Nelson - Siegel thì λ = ɪ. Đây là hệ số thoái hoá mũ cho các hệ số gắn với β1,β2.
Ở đây Diebold và Li (2006) chọn λ = 0.0609 còn nếu theo cách chọn của Diebold, Rudebusch và Aruoba (2006) lại uớc luợng với λ = 0.077. Việc lựa chọn λ
là để làm cho hệ số mũ thoái hoá nhanh đối với truờng hợp m là kỳ trung hạn. Ta có thể
uớc luợng mô hình trên bằng phuơng pháp hồi quy phi tuyến để trực tiếp tìm ra λ. Hình dáng và dạng của đuờng cong lợi suất đuợc xác định bởi 3 hệ số gắn với các tham số uớc luợngβ0ββ2. Số hạng đầu tiên gắn với hệ số chặn β luôn
nhận giá trị bằng 1 với mọi m và do đó có thể xem nhu một nhân tố trong dài hạn.
f 1 ^-λm ∖
1 — e
< λm J
Hệ số gắn với β là hội tụ về 1 khi m → 0 và tiến về 0 khi m → ∞ với mọi thời điểm. Do đó hệ số này hầu nhu chỉ ảnh huởng đến lãi suất trong ngắn hạn. Số hạng gắn với β2 là ố 11 e ST—λm \
sτ-λm —---e
I λm J
hội tụ về 0 khi m → 0 và khi m →∞, có thể xem nhu nhân tố trong trung hạn.
Ba thành phần này có thể nhìn với khía cạnh khác không phải là thời hạn dài hay ngắn mà với góc độ là mức độ, độ dốc và độ cong của đuờng cong lợi suất. Chẳng
hạn nhân tố dài hạn β0 điều chỉnh mức độ của đuờng cong. Hơn nữa có thể kiểm tra rằng θt (∞) = β. Chú ý rằng là khi β0 tăng thì tất cả các lợi suất cũng tăng bằng nhau. Nhân tố dài hạn β thì liên quan chặt chẽ với độ dốc của đuờng cong lợi suất, khi
1 e'
m τ
- J
31
P tăng thì nó làm cho lợi suất ngắn hạn tăng nhanh hơn lợi suất dài hạn. Và nhân tố
trung hạn P2 thì liên quan đến độ cong của đuờng cong lợi suất.
Neu định nghĩa độ dốc của đuờng cong lợi suất là θt(∞) -θ(0), thì độ dốc này tiến về ~P với mỗi t. Độ cong của lợi suất có thể định nghĩa bằng
[θt(m)- θ(0)]-[θ(∞)-^(m*)] cho kỳ hạn trung bình m , ví dụ 2 năm, với mỗi thời điểm t. Có thể chỉ ra rằng độ cong xấp xỉ bằng P.
Truờng hợp chúng ta có một chuỗi quan sát về lãi suất hoàn vốn yt (mi) với một tập hợp N kỳ hạn khác nhau: m < m2 <... < mN với mỗi thời điểm t, ta có thể uớc luợng đuờng cong lợi suất bằng mô hình hồi quy sau:
yt (mi) = θ (m)+εtt = Pt + Pv +Plt (1 - e~λm i - e~λmi + ε