2 Một số ứng dụng của phương tích và trục đẳng phương
2.2 Chứng minh điểm cố định
Bài toán chứng minh điểm cố định trong hình học phẳng là một chủ đề hay và khó. Học sinh thường mò mẫm khó dự đoán được điểm cố định dẫn đến lời giải sai. Phương tích và trục đẳng phương là một trong những công cụ hữu hiệu để giải quyết vấn đề trên giúp học sinh xác định chính xác một điểm là cố định để từ đó đưa ra lời giải chính xác, ngắn gọn.
Bài toán 2.2.1. [4] Cho 3 điểm cố định A, B, C thẳng hàng. Gọi (O) là đường tròn thay đổi nhưng luôn đi qua B, C. Từ điểm A kẻ các tiếp tuyến
AM, AN đến (O). Đường thẳng M N cắt AO và AC lần lượt tại H và K. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác
OHI luôn đi qua hai điểm cố định.
Hình 2.8:
vuông tạiM có M H là đường cao nên ta có
PA/(KO) = AK.AI = AH.AO = AM2.
Ta lại có AM là tiếp tuyến của(O) nên AM2 = PA/(O) = AB.AC. Vậy ta có AK.AI = AB.AC. Vì A, B, C, I cố định nên theo công thức trên K là điểm cố định trên đoạn AC. Do đó, đường tròn ngoại tiếp OHI đi qua hai điểm cố định làK và I.
Bài toán 2.2.2. [1] Cho(O;R) và hai điểm P, Qcố định (P nằm ngoài(O)
và Qnằm trong (O)). Dây cung AB của (O) luôn đi qua Q. PA, PB lần lượt
giao (O) lần thứ hai tại D, C. Chứng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố định.
Giải. (Hình 2.9) GọiE là giao điểm thứ hai khác P của P Q với đường tròn ngoại tiếp tam giác P AB, CDgiao P QtạiF. Ta có
OQ2 −R2 = QA.QB
= QP .QE.
Vì P, Q cố định nên độ dài vectơ QP cố định, suy ra độ dài vectơ QE cũng cố định, do đó điểmE cố định. Mặt khác
\
P DC = P BA[ = P EA[
nên tứ giác DAEF nội tiếp. Suy raP O2−
R2 = P D.P A= P E.P F . Hình 2.9
Do P, E cố định nênP E là hằng số. Suy raP F là hằng số. Do đó điểm F cố định. Vậy CD luôn đi qua điểm F cố định.
Bài toán 2.2.3. [3] Ba điểmA, B, C thẳng hàng và có thứ tự. Một đường tròn
(O) di động qua A, B. Ta vẽ các tiếp tuyến CT và CT0 với đường tròn (O).
a. Tìm quỹ tích các điểm T vàT0; b. Chứng minh rằng D cố định. Giải.(Hình 2.10) a. Ta có
CT2 = CT02 = CA.CB.
Suy ra, quỹ tích các điểm T và
T0 là đường tròn tâm C bán kính
R = √
CA.CB không đổi (ngoại trừ hai điểmE, F).
Hình 2.10
b. Vì tam giác vuông OTC và OT’C vuông nên
CT2 = CT02 = CH.CO.
Vì Tứ giácOIDH nội tiếp trong đường tròn đường kínhOD nên
CH.CO = CI.CD.
Suy ra CA.CB = CH.CO = CI.CD (không đổi) C, I cố định, suy ra D
cũng cố định.
Bài toán 2.2.4. [4] Cho 4 điểmA, B, C, Dtheo thứ tự đó nằm trên một đường thẳng. Hai đường tròn O1, O2 lần lượt thay đổi qua A, C và B, D. Gọi d là trục đẳng phương của O1O2. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.
Giải. (Hình 2.11) [4] Gọi W là giao điểm của d và AD . Ta sẽ chứng minh
W cố định. Vì W thuộc đường thẳng d là trục đẳng phương của (O1),(O2)
nênPW/(O1) = PW/(O2). Suy ra −−→ W A.−−→ W C = −−→ W B.−−→ W D ⇔ −−→W A.(−−→ W A+−→ AC) = (−−→ W A+−→ AB).(−−→ W A+−−→ AD)
Hình 2.11: ⇔ −−→W A.−→ AC = −−→ W A.(−→ AB+−−→ AD) +−→ AB.−−→ AD ⇔ −−→W A.(−−→ AD +−−→ BC) =−→ AB.−−→ AD.
Đẳng thức này chứng tỏ điểm W cố định. Do vậy đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.
Bài toán 2.2.5. [3] Cho đường tròn(O)và đường thẳng∆không cắt(O).M
là một điểm chạy trên∆. QuaM kẽ các tiếp tuyếnM A, M B tới(O). Chứng
minh rằng AB luôn đi qua một điểm cố định.
Giải. (Hình 2.12) Gọi H là hình chiếu của O trên ∆. Qua H kẻ các tiếp tuyếnHK, HL tới đường tròn. GọiI là giao củaHO vàKL. (1) Ta thấy các điểm O, A, M, H, B
cùng thuộc một đường tròn (đường kính OM, ta gọi nó là (O1). Các điểm O, K, H, L cũng thuộc một
đường tròn (đường tròn đường kính Hình 2.12 , gọi là . Ta thấy
Trục đẳng phương của (O) và (O1) là đường thẳng AB; Trục đẳng phương của (O) và (O2) là đường thẳng KL; Trục đẳng phương của(O1) và(O2) là đường thẳng OH. Do đóBA, KL, OH đồng quy (2).
Từ (1), (2) suy raAB luôn đi qua điểm I cố định.
Bài toán 2.2.6. [3] Cho tam giác ABC với D, E lần lượt là hai điểm tùy ý trên các cạnhAB, AC. Chứng minh rằng khiD, E di động thì dây chung của hai đường tròn đường kínhCD, BE luôn đi qua một điểm cố định.
Giải.(Hình 2.13) Gọi{X, Y} = (CD)∩ (BE), {I}= (BE)∩AC,
{K} = (CD)∩AB, {H}= CK ∩BI. Theo tính chất góc chắn cung nửa
đường tròn, ta có BI, CK là hai đường cao của tam giác ABCvà H
là trực tâm của tam giácABC. Do tứ giácIKBC nội tiếp nên
HK.HC = HI.HB.
Suy ra PH/(CD) = PH/(BE). Suy ra H thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn (BE),(CE), hay H
thuộcXY. Vậy dây cungXY của hai Hình 2.13
đường tròn đường kínhBE, CDluôn đi qua điểmH cố định là trực tâm tam giácABC.
Bài toán 2.2.7. [3] Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của cạnh BC, gọid là đường thẳng qua D và vuông góc với đường thẳng AD. Trên đường thẳng d lấy một điểmM bất kỳ. GọiE, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳngM B, M C. Đường thẳng quanE vuông góc với dcắt đường thẳng AB
tạiP, đường thẳng quaF vuông góc vớidcắt đường thẳngAC tạiQ. Chứng minh rằng đường thẳng qua M, vuông góc với đường thẳngP Q luôn đi qua một điểm cố định khiM di động trên đường thẳng d.
Hình 2.14:
Giải.(Hình 2.14) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu củaB, C lên đường thẳng
d. DoD là trung điểm củaBC nênDH = DK. Suy raAD là trung trực của
HK. Do đó AH = AK.
Gọi (P)đường tròn tâm Ađi quaH, K. Gọi H0, K0 lần lượt là các điểm đối xứng vớiH, K qua các đường thẳngAB, AC. Suy ra H0, K0 thuộc(P).
Giả sử HH0, KK00 cắt nhau tại I thì I là điểm cố định (*).
Ta có P E k BH (cùng vuông góc vớid) mà P E đi qua trung điểm của
M Bnên cũng đi qua trung điểm củaM H. Suy raP E là trung trực củaM H. Suy raP H = P M.
Gọi (τ) là đường tròn tâm P đi qua H và M. Do tính đối xứng nên H0
Nếu gọi (θ) là đường tròn tâm Q đi qua K vàM thì K0 thuộc(θ). Ta có
(P)và(τ)cắt nhau tạiH, H0nênHH0là trục đẳng phương của (P)và(τ);
(P)và(θ)cắt nhau tại K, K0 nênKK0là trục đẳng phương của(P)và(θ). Mặt khác M cũng thuộc (τ), (θ) vàP, Q lần lượt là tâm của (τ), (θ) nên đường thẳngd0 quaM, vuông góc vớiP Qchính là trục đẳng phương của (τ),
(θ).
Từ đó suy ra HH0, KK0, d0 đồng quy tại tâm đẳng phương của ba đường tròn(P), (τ), (θ) (**).
Từ (*) và (**) suy ra d0 đi qua I là điểm cố định . Vậy đường thẳng qua
M, vuông góc với đường thẳng P Q luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đường thẳngd.
2.3 Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn, điểm nằm trên đường thẳng cố định
Có nhiều phương pháp để chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn, chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường thẳng cố định tuy nhiên để đưa ra lời giải hay và ngắn gọn hoặc định hướng đúng lời giải không hề đơn giản dưới đây là một số ví dụ của việc vận dụng kiến thức về phương tích và trục đẳng phương vào giải những bài toán dạng này.
Bài toán 2.3.1 (IMO 2006). Cho hình thang ABCD (AB > CD). K, L là 2 điểm trênAB, CD sao cho
AK BK =
DL
CL. Giả sử P, Q nằm trên đoạn thẳng KL sao cho AP B[ = \BCD và CQD\ = ABC[. Chứng minh rằng bốn điểm
Giải.(Hình 2.15) Theo giả thiết
AK BK =
DL
CL, suy raAD, BC, KL
đồng quy tại E. Dựng đường tròn(O1) đi qua hai điểmC, D
và tiếp xúc vớiBC,(O2)đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với
BC. Khi đó \
DQC = ABC[ = DCE.\ Do đóQ thuộc(O1). Tương tự ta cóP thuộc (O2).
Gọi F là giao điểm thứ hai của
EQvới(O1). Ta có Hình 2.15
EF .EQ= EC2. (1)
Ta còn có O\1CD = O\2BA. Do đó tam giác AO2B đồng dạng với tam giác
DO1C. Do đó O1C O2B = DC AB = EC EB = k. Suy raE, O1, O2 thẳng hàng và EO1 EO2 = k. Suy ra−−→EO1 = k−−→ EO2. Suy ra phép vị tựH(E,k) : O1 →O2. MàE, F, P thẳng hàng,F thuộc(O1), P thuộc(O2)
nên−→EF = k−→ EP suy ra EF EP = k = EC EB. (2)
Từ (1) và (2) suy ra EP .EQ = EC.EB. Vậy bốn điểm P, Q, B, C cùng thuộc một đường tròn.
Bài toán 2.3.2. [2] Cho đường tròn(O)và hai điểm cố địnhA, B. Một đường thẳng quay quanhA, cắt (O)tạiM vàN. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácBM N thuộc một đường thẳng cố định.
Giải. (Hình 2.16) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp∆M N B,AB
cắt(I) tại điểm thứ haiC. Ta có PA/(I) = AC.AB
= AM .AN = PA/(O) không đổi vì A,(O) cố định. Suy raAC = PA/(O)
AB . VìA, B cố định
vàC thuộc AB nên từ hệ thức trên Hình 2.16 ta cóC cố định .
Suy raI thuộc đường trung trực củaBC cố định. Suy raAK = AB.AC
AI
là hằng số. Do đó điểm K cố định.
Bài toán 2.3.3. [2] Một điểmM di động trên đường tròn cố định (O) đi qua hai điểm cố định A, B. Trên đường phân giác trong góc AM B người ta lấy hai điểmC vàD sao cho :
M C2 = M D2 = M A.M B.
a. Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D ở trên cùng một đường tròn có tâm là trung điểm của cung AM B. Suy ra quỹ tích của C và D khi M di động trên đường tròn cố định;
b. GọiI là trung điểm của cungAM B. Kéo dàiM B cắt đường tròn tâm
Giải.(Hình 2.17) a. Ta có
M C2 = M D2 = M A.M B
= M C.M D.
Suy ra bốn điểm A, B, C, D ở trên cùng một đường tròn. Tâm của đường tròn trên là giao điểm đường trung trực của CD và đường trung trực củaAB.
Đường trung trực của CD vuông
góc với phân giác trongCJ của góc Hình 2.17
AM B, nên là phân giác ngoài của góc ấy. Do đó đi qua trung điểm I của cungAM B. VậyI là tâm đường tròn qua bốn điểm A, B, C, D.
Vậy quỹ tích của C, D là đường tròn tâmI bán kínhIA = IB.
b. Kéo dài M B cắt đường tròn tâm I bán kính IA tại E. Khi đó, ta có
M E.M B = M C.M D mà M C.M D = M A.M B. Suy ra M E = M A
hay tam giác EM A cân. Vì M I là phân giác của góc EM A nên M I vuông góc với EA. Biết CD vuông góc với M I. Vậy EA song song với CD. Suy raAECD là hình thang cân.
Bài toán 2.3.4(IMO 2008 ). Cho tam giácABCnhọn trực tâmH.A0, B0, C0
là trung điểm của các cạnhBC, CA, AB. Đường tròn(A0, A0H)cắt BC tại
A1, A2. Tương tự ta xác định các điểm B1, B2, C1, C2. Chứng minh rằng sáu điểmA1, A2, B1, B2, C1, C2 cùng thuộc một đường tròn.
Giải.(Hình 2.18) Ta có HC ⊥ A0B0 doHC ⊥ AB, A0B0 k AB. Mà HC đi qua H nên HC là trục đẳng phương của(A0),(B0). Từ đó mà CB2.CB1 = CA1.CA2. Ta được tứ giác A1A2B1B2
nội tiếp. Tương tự ta được các tứ giác nội tiếp B1B2C1C2, C1C2A1A2.
Ba đường tròn ngoại tiếp(A1A2B1B2),
(B1B2C1C2),(C1C2A1A2)đôi Hình 2.18
một có các trục đẳng phương là B1B2, C1C2, A1A2 . Nếu sáu điểm nói trên không cùng thuộc một đường tròn thìA1A2, B1B2, C1C2 sẽ đồng quy mà điều này thì vô lí. Do đó ta được điều phải chứng minh.
Bài toán 2.3.5. [3] Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) (AB 6= CD). Dựng
hai hình thoi AEDF và BM CN có cạnh bằng nhau. Chứng minh 4 điểm
E, F, M, N cùng thuộc một đường tròn.
Giải.(Hình 2.19) Dựng(A, AF)và(B, BM). DoOA = OB vàAF = BM
nên O nằm trên trục đẳng phương của (A) và (B). Mặt khác EF, M N lần lượt là trung trực của đoạnAD, BC nên EF ∩M N = O. Suy ra
OE.OF = OM .ON .
Suy ra 4 điểmE, F, M, N cùng thuộc một đường tròn.
Bài toán 2.3.6. [4] Cho hai đường tròn (O;R) và (O;R0) không có điểm chung và d là trục đẳng phương của chúng. Gọi I là một điểm thay đổi trên
Hình 2.19:
d. TừI kẻ các tiếp tuyếnIM, IN, IM0, IN0 tới hai đường tròn.
a. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, M0, N0 nằm trên đường tròn tâm I, ta ký hiệu đường tròn đó là(I).
b. Với điểm I0 nằm trên d ta lại có(I0). Chứng minh rằng đường thẳng
OO0 là trục đẳng phương của hai đường tròn (I) và(I0).
Giải.(Hình 2.20) a. Ta có
PI/(O) = IM2 = IN2 = IO2 −R2,
PI/(O0) = IM02 = IN02 = IO02 −R02.
Vì(d) là trục đẳng phương của (O) và (O0) nênPI/(O) = PI/(O0) hay
IM = IN = IM0 = IN0. Vậy 4 điểm M, N, M0, N0 nằm trên đường tròn tâmI.
b. Ta có PO/(I) = IO2 −IM2 = R2 (không đổi). Suy ra PO/(I0) = R2
hay PO/(I) = PO/(I0).
Tương tự PO0/(I) = O0I2 −IM02 = R02 (không đổi). Suy raPO0/(I0) = R2
Hình 2.20: đường tròn(I)và(I0).