Sử dụng tốt các tính chất của phương tích và trục đẳng phương còn giúp ta giải được nhiều bài toán hay và khó. Bài toán chứng minh thẳng hàng là một trong số những bài toán đó.
Bài toán 2.4.1. [3] Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), E là giao điểm của (AC) và(BD), F là giao điểm của(AB) và(CD). H, K theo thứ tự là trực tâm các tam giácADE, BCE. Chứng minhF, H, K thẳng hàng.
Giải. (Hình 2.21) Gọi (O1),(O2) lần lượt là các đường tròn đường kính
Hình 2.21:
AB, CD. Ta có PF/(O1) = F A.F B = F C.F D = PF/(O2); PH/(O1) = HA.HA0 = HD.HD0 = PH/(O2); PK/(O1) = KA.KB0 = KC.KC0 = PK/(O2). Do đó F, H, K thẳng hàng.
Bài toán 2.4.2. [2] Cho tam giác ABC và điểm M không thuộc các cạnh của tam giác. Các đường thẳng AM, BM, CM theo thứ tự cắt các đường thẳngBC, AC, AB tạiA1, B1, C1. Đặt A2, B2, C2 lần lượt là giao điểm của các cặpBC vàB1C1, AC vàA1C1, AB vàA1B1. Giả sử A3, B3, C3 theo thứ tự là trung điểm của các đoạnAA1, BB1, CC1. Chứng minh rằngA3, B3, C3 cùng thuộc một đường thẳng.
Giải. (Hình 2.22) Gọi (O;R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H là trực tâm tam giác A1B1C1, là giao của các đường cao A1A01, B1B10, C1C10. Kí hiệu các đường tròn đường kínhA1A2, B1B2, C1C2lần lượt là(A3),(B3),(C3).
Ta cóPH/(A3) = PH/(B3) = PH/(C3)vàPO/(A3) = PO/(B3) = PO/(C3). Từ đó, suy raHOvuông góc vớiA3B3vàHOvuông gócA3C3. VậyA3, B3, C3 cùng thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó vuông góc với .
Hình 2.22:
Bài toán 2.4.3. [3] Cho tam giác ABC. Các phân giác ngoài góc A, B, C lần lượt cắt cạnh đối diện tạiA1, B1, C1. Chứng minh rằngA1, B1, C1 thẳng hàng và nằm trên đường vuông góc với đường thẳng nối tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC.
Giải. (Hình 2.23) Gọi A2B2C2 là tam giác tạo bởi 3 phân giác ngoài góc A, B, C. Ta có AA2 ⊥ B2C2, BB2 ⊥ A2C2, CC2 ⊥ A2B2.
Vì tứ giácBC2B2C nội tiếp nênA1C2.A1B2 = A1B.A1C.
Chứng minh tương tự
B1C2.B1A2 = B1A.B1C, C1B2.C1A2 = C1A.C1B.
Suy raA1, B1, C1 cùng nằm trên trục đẳng phương của đường tròn(O)ngoại tiếp tam giác ABC và đường tròn (J) ngoại tiếp tam giác A2B2C2. Mà (O) là đường tròn Ơ-le của tam giác A2B2C2 (Vì (O) đi qua 3 điểm A, B, C là chân các đường cao của tam giác A2B2C2). AA2, BB2, CC2 giao nhau tại trực tâm I của tam giác A2B2C2 (cũng đồng thời là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC), suy ra I, O, J thẳng hàng. Vậy đường thẳng qua A1, B1, C1
Hình 2.23:
vuông góc vớiOI.
Bài toán 2.4.4. [2] Cho bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự đó nằm trên một đường thẳng. Hai đường tròn có tâm O1, O2 lần lượt thay đổi qua A, C và B, D giao nhau tại M, N. Các tiếp tuyến chung của (O1),(O2) tiếp xúc với (O1) tại P1, Q1, tiếp xúc với O2 tại P2, Q2. Gọi I, J, X, Y lần lượt là trung điểm của các đoạn P1P2, Q1Q2, P2Q1, P1Q2. Chứng minh rằng các điểmM, N, X, Y, I, J cùng thuộc một đường thẳngd.
Giải. (Hình 2.24) Ta có M N là trục đẳng phương của (O1) và (O2). Mà PI/(O1) = IP12 = IP22 = PI/(O2), tương tự PJ/(O1) = PJ/(O2). Do đó I, J thuộc trục đẳng phương của(O1) và(O2).
Hình 2.24:
Ta cóP1Q1 k P2Q2 ( theo tính chất tiếp tuyến chung của hai đường tròn), do đó −−−→
P1Q1 = k−−−→
P2Q2 với k khác0. Mặt khác 2−−→
XY = (−−→
XP2 +−−−→
P2Q2 +−−→
Q2Y) + (−−→
XQ1 +−−−→
Q1P1 +−−→
P1Y)
= −−−→
P2Q2 +−−−→
Q1P1 = (1−k)−−−→
P2Q2. Do đó −−→
XY song song với −−−→
P2Q2. Nhưng J Y chính là đường trung bình của tam giác Q1Q2P2: −→
J Y k −−−→
P2Q2 nên X, Y, J thẳng hàng. Tương tự X, Y, I thẳng hàng. Suy ra X, Y, I, J cùng thuộc trục đẳng phương là đường thẳng M N của(O1),(O2).
Bài toán 2.4.5. [4] Cho tam giácABC. Một đường thẳng song song vớiBC cắt AB, AC lần lượt tại D, E; P là một điểm nằm trong tam giác ADE; P B, P C theo thứ tự cắt DE tại M, N. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác P DN, P EM cắt nhau tạiQ. Chứng minh rằng A, P, Qthẳng hàng.
Giải. (Hình 2.25) GọiI, J lần lượt là giao điểm của AP với DE, BC. Vì
BC k DE nên theo định lý Ta-let ta có IM IN =
J B
J C và ID IE =
J B
J C suy ra IM
IN = ID
IE hay IN .ID = IM .IE. (∗) Gọi (C1),(C2) theo thứ tự
là đường tròn ngoại tiếp các tam giácP DN, P EM. Theo(∗) ta có
PI/(C1) = PI/(C2). Suy ra AP là trục đẳng phương của (C1) và (C2). VậyAP đi quaQhayA, P, Q
thẳng hàng. Hình 2.25
Bài toán 2.4.6. [4] Cho đường tròn(O)và dâyAB. Các đường tròn(O1),(O2) nằm về một phía của(AB), tiếp xúc vớiAB và tiếp xúc trong với (O) ;(O1) cắt(O2)tạiC, D. Chứng minh rằng đường thẳngCD đi qua điểm chính giữa K của cungAB.
Hình 2.26: Hình 2.27:
Trước hết ta chứng minh nhận xét sau đây: Giả sử 0 tiếp xúc trong
với (O) tại M và tiếp xúc với AB tại N. Khi đó đường thẳng M N đi qua điểm chính giữaK của cungAB (Hình 2.26).
Thật vậy, ta cóM, O0, Othẳng hàng,O0N vuông góc vớiAB,OK vuông góc vớiAB, suy raO0N k OK.
Hai tam giác cân O0M N vàOM K có các góc ở đỉnh bằng nhau, suy ra:
O\0M N = OM K\. Vậy M, N, K thẳng hàng.
Quay trở lại bài toán (Hình 2.27). Giả sử (O1),(O2) tiếp xúc với AB tại N1, N2, tiếp xúc với(O) tạiM1, M2.
Theo nhận xét trên, các đường thẳng M1N1, M2N2 đều đi qua điểm chính giữa K của cung AB. Ta có
M\1M2K = M\1N1A = 1
2sđ Mý1AK.
Suy ra tứ giácM1M2N2N1 nội tiếp. Suy raKM1.KN1 = KM2.KN2. Suy ra PK/(O1) = PK/(O2). Do đóK thuộc trục đẳng phương của (O1),(O2). Vậy C, D, K thẳng hàng.
Bài toán 2.4.7(Iran NMO 2001). Cho tam giácABC nội tiếp (O). (I),(Ia) lần lượt là đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc A. Giả sử IIa giao BC và (O)lần lượt tại A0, M. GọiN là trung điểm cungM BA. N I, N Ia giao (O) lần lượt tạiS, T. Chứng minh rằng S, T, A0 thẳng hàng.
Giải.(Hình 2.28) Ta có N T S[ =
1 2
sđN Aự +sđASứ
= 1 2
sđN Mỳ +sđASứ
= N IM .\ Suy raI[aT S = I[aIS. Suy ra tứ giácIaT IS nội tiếp(w1).
Mặt khácIBI[a = ICI[a = 900 nên tứ giácIBIaC nội tiếp(w2).
Ta thấy IIa là trục đẳng phương của (w1) và (w2), BC là trục đẳng phương của (O) và (w2), T S là trục đẳng phương của (O) và (w1). Theo
Hình 2.28:
định lý về tâm đẳng phương thìIIa, T S, BC đồng quy tại A0. Do vậyT, A0, S thẳng hàng.
Bài toán 2.4.8. [2] Cho đường tròn tâmO bán kínhAB. Một điểm H thuộc đoạn AB. Đường thẳng qua H vuông góc với AB cắt đường tròn tại C.
Đường tròn đường kínhCH cắt AC, BC và(O)lần lượt tạiD, E, F. Đường tròn tâm C bán kính CH cắt (O) tại P và Q. Chứng minh rằng P, D, E, Q thẳng hàng.
Giải.(Hình 2.29) Ta cóCA.CD = CH2 = CB.CE.
Suy ra ADBE nội tiếp. Xét các đường tròn (ADBE) và (O) và đường tròn đường kính CH thì DE, AB và CF lần lượt là các trục đẳng phương của các cặp đường tròn trên.
Ta có P Qlà trục đẳng phương của (C)và (O) nênOC ⊥P Q.
Chứng minh tương tựODvuông góc với DE. Hơn nữa M là tâm đẳng phương của ba đường tròn (O),(C)và đường tròn đường kính CH. Suy raP Q đi quaM.
Vậy DE, P Q cũng đi qua M và cùng vuông góc với OC nên trùng nhau. Điều này chứng tỏD, E, P, Q
thẳng hàng. Hình 2.29