i
2.1.2. Một số tính chất trong đại số gia tử
Ta nhận thấy rằng các thành phần trong có một số tính chất sau:
- Giả thiết rằng các gia tử trong 𝐻 là các toán tử thứ tự, nghĩa là (∀ℎ ∈ 𝐻, ℎ: 𝑇 →
- Hai gia tử ℎ, 𝑘 ∈ 𝐻 được gọi là ngược nhau nếu (∀𝑢 ∈ 𝑇){ℎ𝑢 ≤ 𝑢 khi và chỉ
khi 𝑘𝑢 ≥ 𝑢} và chúng được gọi là tương thích nhau nếu (∀𝑢 ∈ 𝑇){ℎ𝑢 ≤ 𝑢 khi và chỉ
khi 𝑘𝑢 ≤ 𝑢}. Ký hiệu ℎ ≥ 𝑘 nếu ℎ, 𝑘 tương thích nhau và (∀𝑢 ∈ 𝑇) {ℎ𝑢 ≤ 𝑘𝑢 ≤ 𝑢
hoặc ℎ𝑢 ≥ 𝑘𝑢 ≥ 𝑢}.
- Ngoài ra, tập 𝐻 còn có thể được phân hoạch thành hai tập 𝐻+ và 𝐻− với các gia tử trong tập 𝐻+ hay 𝐻− là tương thích nhau, mỗi phần tử trong 𝐻+ cũng ngược với bất kỳ phần tử nào trong 𝐻− và ngược lại.
- Một gia tử ℎ dương (hoặc âm) đối với một gia tử 𝑘𝑛ế𝑢 (∀𝑢 ∈ 𝑇) {ℎ𝑘𝑢 ≤ 𝑘𝑢 ≤
𝑢 ℎ𝑜ặ𝑐 ℎ𝑘𝑢 ≥ 𝑘𝑢 ≥ 𝑢} (ℎ𝑜ặ𝑐 (∀𝑢 ∈ 𝑇){𝑘𝑢 ≤ ℎ𝑘𝑢 ≤ 𝑢 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑘𝑢 ≥ ℎ𝑘𝑢 ≥ 𝑢}).
- 𝑇 được sinh ra từ 𝐺 bởi các gia tử trong 𝐻. Như vậy mỗi phần tử của 𝑇 sẽ có dạng biểu diễn là 𝑥 = ℎ𝑛ℎ𝑛−1… ℎ1𝑐, 𝑐 ∈ 𝐺.
- Tập tất cả các phần tử được sinh ra từ phần tử 𝑢 có dạng biểu diễn là
𝐻(𝑢) ⋃{𝑥 = 𝐻(ℎ𝑢)|ℎ ∈ 𝐻}.
- Nếu hai khái niệm 𝑢 và 𝑣 là độc lập nhau, nghĩa là 𝑢 ∉ 𝐻(𝑣) và 𝑣 ∉ 𝐻(𝑢), thì
(∀𝑥 ∈ 𝐻(𝑢)) {𝑥 ∉ 𝐻(𝑣)}. Ngoài ra nếu 𝑢 và 𝑣 là không sánh được thì bất kỳ 𝑥 ∈
𝐻(𝑢) cũng không sánh được với bất kỳ 𝑦 ∈ 𝐻(𝑣). (𝐻(𝑢) là tập các giá trị được sinh ra do tác động của các gia tử của 𝐻 vào 𝑢).
- Nếu 𝑢 ∉ 𝐻(𝑣) và 𝑢 ≤ 𝑣 (hoặc 𝑢 ≥ 𝑣) thì 𝑢 ≤ ℎ𝑣 (hoặc 𝑢 ≥ ℎ𝑣) đối với mọi
gia tử ℎ.
- Với 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑋, 𝑢 ≤ 𝑣 thì: 𝑢 ≤ 𝐻(𝑣), 𝐻(𝑢) ≤ 𝑣 ⇒ 𝐻(𝑢) ≤ 𝐻(𝑣).
- Giả sử trong tập 𝐻+ có phần tử 𝑉 (ngầm định là 𝑉𝑒𝑟𝑦 − 𝑟ấ𝑡) và trong tập 𝐻−
có phần tử 𝐿 (ngầm định là 𝐿𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 − í𝑡) là phần tử lớn nhất thì phần tử sinh
𝑐 ∈ 𝐺 là dương nếu 𝑐 ≤ 𝑉𝑐 (ký hiệu là 𝑐+) và là âm nếu 𝑐 ≥ 𝑉𝑐 (ký hiệu là
𝑐−) (hoặc 𝑐 ∈ 𝐺 là dương nếu 𝑐 ≥ 𝐿𝑐 và là âm nếu 𝑐 ≤ 𝐿𝑐).
- Nếu 𝐺 chỉ có đúng 2 phần tử sinh, thì một được gọi là phần tử sinh dương ký hiệu là 𝑐+, một được gọi là phần tử sinh âm ký hiệu là 𝑐+ và ta có 𝑐− ≤ 𝑐+
(Trong ví dụ trên, 𝑐+ tương ứng với 𝑡𝑟𝑢𝑒 là dương, còn 𝑐+ tương ứng với
𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒 là âm và 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒 < 𝑡𝑟𝑢𝑒).
Từ các tính chất trên, ta có định nghĩa về hàm dấu một cách đệ quy như sau:
Định nghĩa 2. 2 Error! Reference source not found., Error! Reference so urce not found.. Hàm 𝑠𝑔𝑛: 𝑋 → {−1, 0, 1}
Với 𝑘, ℎ ∈ 𝐻, 𝑐 ∈ 𝐺, 𝑥 ∈ 𝑋:
- 𝑠𝑔𝑛(𝑐+) = +1 và 𝑠𝑔𝑛(𝑐−) = −1
- {ℎ ∈ 𝐻+|𝑠𝑔𝑛(ℎ) = +1} và {ℎ ∈ 𝐻−|𝑠𝑔𝑛(ℎ) = −1}
- 𝑠𝑔𝑛(ℎ𝑐+) = +𝑠𝑔𝑛(𝑐+) nếu ℎ𝑐+ ≥ 𝑐+ hoặc 𝑠𝑔𝑛(ℎ𝑐−) = +𝑠𝑔𝑛(𝑐−) nếu
ℎ𝑐− ≤ 𝑐− và 𝑠𝑔𝑛(ℎ𝑐+) = −𝑠𝑔𝑛(𝑐+) nếu ℎ𝑐+ ≤ 𝑐+ hoặc 𝑠𝑔𝑛(ℎ𝑐−) =
−𝑠𝑔𝑛(𝑐−) nếu ℎ𝑐− ≥ 𝑐−. Hay 𝑠𝑔𝑛(ℎ𝑐) = 𝑠𝑔𝑛(ℎ)𝑠𝑔𝑛(𝑐).
- 𝑠𝑔𝑛(𝑘ℎ𝑥) = +𝑠𝑔𝑛(ℎ𝑥) nếu 𝑘 là dương đối với ℎ (𝑠𝑔𝑛(𝑘, ℎ) = +1) và
𝑠𝑔𝑛(𝑘ℎ𝑥) = −𝑠𝑔𝑛(ℎ𝑥) nếu 𝑘 là âm đối với ℎ (𝑠𝑔𝑛(𝑘, ℎ) = −1).
- 𝑠𝑔𝑛(𝑘ℎ𝑥) = 0 nếu 𝑘ℎ𝑥 = ℎ𝑥.
Mệnh đề 2.1 Error! Reference source not found..
Với 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑥 = ℎ𝑛ℎ𝑛−1… ℎ1𝑐, ℎ𝑗 ∈ 𝐻, 𝑐 ∈ 𝐺. Khi đó:
𝑠𝑔𝑛(𝑥) = 𝑠𝑔𝑛(ℎ𝑛, ℎ𝑛−1) … 𝑠𝑔𝑛(ℎ2, ℎ1)𝑠𝑔𝑛(ℎ1)𝑠𝑔𝑛(𝑐)
(𝑠𝑔𝑛(ℎ𝑥) = +1) ⇒ (ℎ𝑥 ≥ 𝑥) và (𝑠𝑔𝑛(ℎ𝑥) = −1) ⇒ (ℎ𝑥 ≤ 𝑥) (2. 1)
Hàm dấu 𝑠𝑔𝑛 được sử dụng để xác định được chiều tác động là tăng hay giảm giá trị ngữ nghĩa của một gia tử lên một giá trị ngôn ngữ.
Tính thứ tự ngữ nghĩa của các hạng từ trong đại số gia tử được thể hiện qua mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.2 Error! Reference source not found.. Cho đại số gia tử 𝒜𝒯 =
(𝑇, 𝐺, 𝐶, 𝐻, ≤) với 𝐻−, 𝐻+ là các tập các gia tử được sắp thứ tự tuyến tính. Khi đó ta
- Với mỗi 𝑥 ∈ 𝑇 thì 𝐻(𝑥) là tập sắp thứ tự tuyến tính.
- Nếu 𝑇 được sinh ra từ 𝐺 và 𝐺 là tập được sắp thứ tự tuyến tính thì 𝑇 cũng là tập sắp thứ tự tuyến tính.
- Nếu 𝑥 ∈ 𝑇 là phần tử cố định đối với ℎ ∈ 𝐻, tức là ℎ𝑥 = 𝑥 thì nó sẽ là phần
tử cố định đối với ∀𝑘 ∈ 𝐻, 𝑘 ≠ ℎ (ℎ𝑥 = 𝑘𝑥). Hơn nữa nếu 𝑢 < 𝑣, và 𝑢, 𝑣 là độc lập với nhau, tức là 𝑢 ∉ 𝐻(𝑣) và 𝑣 ∉ 𝐻(𝑢), thì 𝐻(𝑢) ≤ 𝐻(𝑣).
Định lý 2.1Error! Reference source not found.. Nếu tập các gia tử 𝐻+ và 𝐻− c ó quan hệ thứ tự sắp xếp tuyến tính thì có tồn tại một đẳng cấu 𝜑 từ 𝒜𝒯 =
(𝑇, 𝐺, 𝐶, 𝐻, −,∪,∩, ⇒, ≤) vào cấu trúc logic đa trị tựa trên đoạn [0, 1] sao cho:
- Bảo toàn quan hệ thứ tự.
- 𝜑(𝑢 ∪ 𝑣) = 𝑚𝑎𝑥{𝜑(𝑢), 𝜑(𝑢 ∪ 𝑣)} = 𝑚𝑖𝑛{𝜑(𝑢), 𝜑(𝑣)}.
- 𝜑(𝑢 ⇒ 𝑣) = 𝑚𝑎𝑥{1 − 𝜑 (𝑢), 𝜑(𝑣)} và 𝜑(−𝑢) = 1 − 𝜑(𝑢).
Từ định lý trên cho phép ta thiết lập một hàm đo trên đại số gia tử để chuyển một giá trị 𝑥 ∈ 𝑇 thành một giá trị ngữ nghĩa trong miền thực [0, 1].