Nhóm, vành và không gian Zp

 Nhóm:

Nhóm là cấu trúc bao gồm tập G và toán tử hai ngôi ∗ , trường G. Với a,b ∈ G, a b ∈ G được định nghĩa như sau:

a ∗ (b∗ c)=(a ∗b) ∗c với mọi a,b,c ∈ G

Tồn tại e ∈ G thoả mãn e ∗a=a ∗e=a với mọi a ∈ G, (e gọi là phần tử trung hoà). Với mỗi a ∈ G, tồn tại một phần tử b ∈ G thoả mãn b∗ a=a∗ b=e (b là duy nhất và được gọi là phần tử nghịch đảo của a).

Ký hiệu <G,. >là nhóm nhân và <G,+> là nhóm cộng. Trong nhóm cộng, phần tử trung hoà là 0 và phần tử nghịch đảo của a là –a. Trong nhóm nhân, phần tử trung hoà là 1 và phần tử nghịch đảo của a la a-1.

<G,. > được gọi là nhóm abel nếu a∗ b=b∗ a với mọi a, b thuộc G.

Nếu <G,. > là nhóm hữu hạn thì số phần tử của <G,. > được gọi là bậc của G và ký hiệu là |G|.

Bậc của phần tử a ∈ G là số nguyên dương nhỏ nhất n thỏa mãn an = 1. Ở đây, trong nhóm nhân an được hiểu là a.a...a (n lần), còn trong nhóm cộng là a+a+...+a (n lần). Trong nhóm nhân với mọi phần tử thuộc nhóm thì n luôn tồn tại.

Nếu a  G có bậc m thì H = { ak | k  Z } là nhóm con của G và có bậc m. Nếu G có một phần tử a có bậc n = |G| thì G = { ak | k  Z} và G được gọi là một nhóm cylic, a được gọi là phần tử sinh của G.

Ví dụ, tập hợp Zn = {0, 1, 2,…, n - 1} là một nhóm cylic bậc n với toán tử cộng module n.

 Vành:

Định nghĩa: Tập hợp R được gọi là vành nếu trên đó có hai phép toán hai ngôi mà ta ký hiệu là "+" (phép cộng) và "." (phép nhân) thỏa mãn các điều kiện sau:

R là một nhóm giao hoán đối với phép cộng, nghĩa là:

- Phép cộng có tính kết hợp: x y z, , R: (xy)  z x (yz)

- Phép cộng có phần tử trung hòa, nghĩa là:    0 R, x R: 0   x x 0 x - Mọi phần tử của R có phần tử đối:  x, x' :x   x' x' x 0

- Phép cộng có tính giao hoán, nghĩa là: x y, R x:   y y x

- Phép nhân có tính phân phối với phép cộng, nghĩa là:

, , : x(y z) . .

x y z R x y x z

    

Phép nhân có tính kết hợp, nghĩa là x y z, , R: (x. y).zx y z.( . )

Phép nhân có phần tử đơn vị, nghĩa là:    1 R, x R:1   x x 1 x