MÔ HÌNH CHARNES COOPER RHODES ĐỐI NGẪU

Xác định hiệu quả DEA của đơn vị M0 {M1, M2, ... , Mn} theo mô hình Charnes-Cooper-Rhodes là một bài toán qui hoạch tuyến tính, cụ thể là bài toán (2.4). Bài toán qui hoạch tuyến tính này có bài toán đối ngẫu tƣơng ứng với nó. Mục này sẽ trình bày cách xây dựng bài toán đối ngẫu đó và giải thích ý nghĩa của bài toán đối ngẫu. Cuối cùng sẽ minh họa cách tính hiệu quả DEA của các đơn vị H và R đã xét ở Ví dụ 2.3 bằng cách áp dụng mô hình Charnes-Cooper- Rhodes đối ngẫu.

Ta nhắc lại qui hoạch tuyến tính của mô hình Charnes-Cooper-Rhodes là max = uTy0 (2.4) với điều kiện vT

x0 = 1, uTY  vTX,

u, v  0.

trong đó x0 và y0 là véctơ đầu vào và véctơ đầu ra của đơn vị M0 đƣợc xét, X và Y là ma trận đầu vào và ma trận đầu ra, lập nên từ dữ liệu của bài toán; còn u 

ℝs

, v  ℝm

là các biến cần xác định và giá trị mục tiêu tối ƣu của  là hiệu quả DEA cần tìm của đơn vị M0.

Để thiết lập bài toán đối ngẫu, ta viết lại bài toán (2.4) ở dạng chuẩn. Để hiểu rõ hơn nguồn gốc bài toán đối ngẫu, ta viết (2.4) ở dạng chi tiết mà không dùng tới ký hiệu ma trận cô đọng.

max = u1yi0 + ... + usys0 (2.5) với điều kiện

v1xi0 + ... + vmxm0 = 1,

u1y11 + ... + usys1 v1x11 + ... + vmxm1,   

u1y1n + ... + usysn v1x1n + ... + vmxmn, u1, ... , us, v1, ... , vm 0.

Đƣa tất cả các biến ui, vj sang vế trái ở các ràng buộc và tên biến viết sau hệ số của biến, ta nhận đƣợc bài toán

max = yi0u1 + ... + ys0us + 0.v1 + ... + 0.vm (2.6) với điều kiện

0.u1 + ... + 0.us + xi0v1 + ... + xm0vm = 1, y11u1 + ... + ys1us x11v1 ...  xm1vm 0,        y1nu1 + ... + ysnus x1n v1 ...  xmnvm 0, u1 ... us v1 ... vm 0.

Tiếp theo, thay ràng buộc đẳng thức trong (2.6) bằng hai ràng buộc bất đẳng thức "" tƣơng đƣơng, ta nhận đƣợc bài toán qui hoạch tuyến tính ở dạng chuẩn:

max = yi0u1 + ... + ys0us + 0.v1 + ... + 0.vm (2.7) với điều kiện

0.u1 + ... + 0.us + xi0v1 + ... + xm0vm 1,  0.u1 ...  0.us xi0v1 ...  xm0vm 1, y11u1 + ... + ys1us  x11v1 ...  xm1vm 0,        y1nu1 + ... + ysnus  x1n v1 ...  xmnvm 0, u1 ... us v1 ... vm 0.

Lúc này ta đã sẵn sàng thiết lập bài toán đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính (2.7). Đặt  là giá trị hàm mục tiêu và  = [1, 2, 3, ... , n+2]T là các biến của bài toán đối ngẫu (biến i tƣơng ứng với ràng buộc thƣ i của bài toán gốc).

Bài toán đối ngẫu có dạng

min = 12 (2.8) với điều kiện

0.1 0.2 + y113 + ... + y1nn+2  y10,        0.1 0.2 + ys13 + ... + ysnn+2  ys0, x101 x102 x113 ...  x1nn+2 0,         xm01 xm02 xm13 ...  xmnn+2 0, 1, ... , n+2  0.

Ta đã lập đƣợc bài toán đối ngẫu (2.8) của bài toán qui hoạch tuyến tính (2.4) theo mô hình Charnes-Cooper-Rhodes. Rất tiếc là chƣa dễ dàng giải thích ý nghĩa của dạng bài toán đối ngẫu này. Vì thế ta cần biến đổi nó đôi chút để hiểu rõ nội dung bài toán. Ta thế giá trị mục tiêu

 = 12

vào các ràng buộc của bài toán (2.8). Thực hiện việc này thực chất là loại bỏ các biến 1, 2 ra khỏi bài toán và ta nhận đƣợc

min (2.9) với điều kiện

y113 + ... + y1nn+2 y10,      ys13 + ... + ysnn+2 ys0, x10 x113  ...  x1nn+2  0,       xm0 xm13 ...  xmnn+2  0, 1, ... , n+2  0.

Tiếp đó, ta đánh số lại và đổi tên các biến đối ngẫu còn lại. Biến mới của bài toán đối ngẫu bây giờ là  = [1, ... , n]T với 1 = 3, 2 = 4, ... , n = n+2. Vì thế, bài toán qui hoạch tuyến tính (2.9) trở thành

min (2.10) với điều kiện

y111 + ... + y1nn y10,      ys11 + ... + ysnn ys0, x10 x111 ...  x1nn 0,       xm0 xm11  ...  xmnn 0, 1, ... , n 0.

Cuối cùng, ta sắp xếp lại các ràng buộc  của bài toán (2.10) sao cho có thể dễ dàng diễn giải ý nghĩa của nó sau này. Ta nhận đƣợc bài toán

min (2.11) với điều kiện

y111 + ... + y1nn y10,      ys11 + ... + ysnn ys0, x111 + ... + x1nn  x10,      xm11 + ... + xmnn xm0, 1, ... , n 0.

Ta đã tìm đƣợc cách diễn tả bài toán qui hoạch tuyến tính theo mô hình Charnes-Cooper-Rhodes đối ngẫu (2.11) mà có thể giải thích đƣợc ý nghĩa của mô hình này: Biến đối ngẫu

 =             n 1  .

là trọng số của đơn vị ảo, ký hiệu là M*. Đơn vị ảo M* đƣợc xem nhƣ một đơn vị tham khảo của M0 (M0 là đơn vị đang đƣợc xem xét, đánh giá).

Đơn vị ảo M* đƣợc thiết lập dựa trên các đơn vị thực M1, ... , Mn, bằng cách gán cho mỗi đơn vị thực Mk một trọng số k, k = 1, ... , n. Có thể hình dung:

M* = 1M1 + ... + nMn. Vì thế, các ràng buộc y111 + ... + y1nn y10,      ys11 + ... + ysnn ys0, nói rằng:

"Mọi sản phẩm ra của đơn vị ảo đều không thấp hơn sản phẩm ra tƣơng ứng của đơn vị đƣợc xét." Các ràng buộc

x111 + ... + x1nn  x10,      xm11 + ... + xmnn xm0, nói rằng:

"Mọi vật phẩm vào của đơn vị ảo đều không vƣợt quá

 lần vật phẩm vào tƣơng ứng của đơn vị đƣợc xét."

Sau đây là bài toán qui hoạch tuyến tính theo mô hình Charnes - Cooper- Rhodes đối ngẫu (2.11) cho ở dạng ma trận:

Định nghĩa 2.5. Bài toán tuyến tính đối ngẫu Charnes-Cooper-Rhodes của M0 đối với M1, M2, ... , Mn là

min (2.12) với điều kiện x0 X,

Y y0,  0. Số  là hiệu quả DEA của đơn vị M0.

Ví dụ 2.5. (Tính hiệu quả DEA đối ngẫu của đơn vị H và R). Bây giờ ta tính hiệu quả DEA đối ngẫu của chi nhánh H và R với dữ liệu đã cho trong Ví dụ 2.2. Lƣu ý rằng trong bài toán tuyến tính (2.12) giá trị mục tiêu  là một biến số.

Bài toán tuyến tính đối ngẫu (2.12) của chi nhánh H là:

min (Hiệu quả DEA đối ngẫu) 11  181 102 173  114  0 (Số nhân viên)

1251 + 442 + 803 + 234  23 (Số giao dịch nhân sự) 501 + 202 + 553 + 124  12 (Số giao dịch kinh doanh)

 1, 2, 3 , 4  0. (Điều kiện không âm) Giải theo thuật toán đơn hình, ta nhận đƣợc lời giải:



1 = 0,106087; 2 = 0; 3 = 0,121739; 4 = 0 và * 0,361739. Nhƣ vậy, hiệu quả DEA (đối ngẫu) của đơn vị 4 (Chi nhánh H) bằng 36%. Ta có thể phân tách theo thành phần của đơn vị ảo tƣơng ứng với đơn vị 4 thành

M0* = 1M1 + 2M2 + 3M3 + 4M4 = 10,6%MR + 12,2%MK.

Nhƣ vậy, có thể giải thích kết quả thu đƣợc nhƣ sau:

Xét đơn vị ảo tạo thành từ 10,6% đơn vị 1 (Chi nhánh R) và 12,2% đơn vị 3 (Chi nhánh K). Khi đó, đơn vị ảo sản xuất ra số sản phẩm không ít hơn số sản phẩm của đơn vị 4 (Chi nhánh H), nhƣng chỉ tiêu tốn 36% số vật phẩm vào mà đơn vị 4 đã sử dụng.

 Bài toán tƣơng tự cho đơn vị 1 (Chi nhánh R):

min (Hiệu quả DEA đối ngẫu) 18 181 102 173 114  0 (Số nhân viên)

1251 + 442 + 803 + 234  125 (Số giao dịch nhân sự) 501 + 202 + 553 + 124  50 (Số giao dịch kinh doanh)

Lời giải bài toán:



1 = 1; 2 = 0; 3 = 0; 4 = 0 và * = 1.

Ta thấy rằng hiệu quả DEA (đối ngẫu) của Chi nhánh R bằng 100%. Ta cũng thấy rằng đơn vị ảo tƣơng ứng với đơn vị 1 chính là chi nhánh R. Điều này không có gì ngạc nhiên. Ta nhớ rằng đơn vị ảo (của một đơn vị nào đó) đƣợc định nghĩa là đơn vị cho cùng số sản phẩm ra, nhƣng tiêu dùng không nhiều hơn số vật phẩm vào. Do chi nhánh R đạt hiệu quả 100% nên không có đơn vị ảo nào dùng ít vật phẩm vào mà lại cho cùng số sản phẩm ra.

Tƣơng tự, có thể thiết lập và giải các bài toán tối ƣu tìm hiệu quả DEA (đối ngẫu) cho các đơn vị (chi nhánh) còn lại.