toán
Dạng 1. Các bài toán khảo sát về tính chất của phép quay
Bài toán 55. Chứng minh rằng phép quay Q(d, ϕ) với 00 < ϕ ≤ 1800, biến mặt phẳng (P) thành chính nó thì (P) ⊥ d.
Lời giải. Ta có d cắt (P) tại điểm O.
Thật vậy nếu d thuộc (P) và với điểm M ∈ (P) không thuộc d thì ảnh
M0 của M thuộc (P). Mà M và M0 cùng thuộc mặt phẳng (P0) vuông góc với d tại O do đó M và M0 thuộc giao tuyến của (P) và (P0) vậy M
và M0 đối xứng với nhau qua O nên ϕ = 1800 điều này trái với giả thiết. Nếu d//(P) , thì O không thuộc(P) và ta chọnM là chân đường vuông góc hạ từ O xuống (P). Vì M0 khác M và thuộc (P), nên OM0 > OM
điều này trái với định nghĩa của phép quay. Như vậy nếu M và M0 là ảnh của M trong phép quay, thì OM và OM0 vuông góc với d tại O. Điều đó chứng tỏ (P) ⊥ d.
Bài toán 56. Cho tứ diện đều ABCD cạnh AB = 1. Chứng minh rằng chu vi của một thiết diện tứ giác của tứ diện không nhỏ hơn 2.
Lời giải. Giả sử M N KH là thiết diện của tứ diện, với M ∈ AB, N ∈
BC, K ∈ CD, H ∈ DA. Ta ký hiệu D1, D2, D3 là ảnh của D qua các phép quay quanh AB, BC, CA sao cho các điểm đó nằm ngoài tam giác ABC. Vì ABCD là tứ diện đều, nên D1D2D3 là một tam giác đều màA, B, C
qua phép quay quanh AB , khi đó H1 ∈ AD1, gọi H2 là ảnh của H qua phép quay quanh AC, H2 ∈ AD2 gọi K2 là ảnh của K qua phép quay đó,
K2 ∈ CD2 . GọiK1 là ảnh củaK qua phép quay quanhBC,K1 ∈ CD3. Ta cóM N+M H+N K bằng độ dài đường gấp khúcH1M N K1, KH = K2H2. Phép đối xứng qua A biến tam giác AD2C thành tam giác AD1C0
và đoạn H2K2 thành đoạn H1K0( K0 ∈ D1C0). Vậy chu vi thiết diện bằng độ dài đoạn gấp khúc K0H1M N K1. Vì K0D1 = K2D2 = K1D3 và
K0D1//K1D3, nên K0K1 = D1D3 = 2. Vì K0K1 không lớn hơn độ dài đường gấp khúc K0H1M N K1 nên ta có điều phải chứng minh.
Dạng 2. Toán quỹ tích và cực trị
Bài toán 57. Trong không gian cho đường thẳng dvà hai điểm A, B không thuộc d. Hãy tìm trên d điểm M sao cho.
1) M A +M B nhỏ nhất. 2) |M A −M B| lớn nhất.
Lời giải. Gọi (P) là mặt phẳng xác định bởi điểm A và (d).
Nếu B ∈ (P), thì bài toán đã được giải quyết trong hình học phẳng. Nếu không thuộc mặt phẳng (P) , ta dựng B1, B2 thuộc (P) là ảnh của
B qua phép quay quanh (d) và giả thiết B1 khác phía với A đối với (d), ta có bài toán trong hình học phẳng.
Bài toán 58. Cho góc nhị diện (P, Q) = α(α < 900) và điểm M nằm trong góc đó. Tìm trong (P) và (Q) các điểm A và B sao cho các điều kiện sau đây đồng thời được thỏa mãn.
1) Khoảng cách từ A và B đến cạnh nhị diện bằng nhau. 2) M A +M B nhỏ nhất.
Lời giải. Dựng mặt phẳng (R) vuông góc với cạnh nhị diện. Gọi A0, B0
là hình chiếu của A và B trên (R), khi đó A0, B0 thuộc giao tuyến của(R) với (P) và (Q). Khi đó khoảng cách từ A0 và B0 đến cạnh nhị diện bằng nhau và M A0 +M B0 6 M A+M B.
Ta sẽ tìm các điểm A0, B0 sao cho M A0 + M B0 nhỏ nhất. Bài toán đó đã được giải trong hình học phẳng.
Bài toán 59. Cho hai mặt phẳng (P),(Q) hợp với nhau một góc bằng 450
và x là một đường thẳng cố định. Với mỗi mặt phẳng (R) đi qua (x) ta xác định các mặt phẳng (R1), và (R2) là ảnh của (R) trong các phép đối xứng qua (P) và (Q). Chứng minh rằng (R1) cắt (R2) và tìm tập hợp giao tuyến của hai mặt phẳng đó, khi (R) quay quanh (x).
Lời giải. Phép đối xứng qua (P) biến (x) thành (x1) thuộc (R1) và phép đối xứng qua (Q) biến (x) thành (x2) thuộc (R2). Các đường thẳng (x1),(x2) cố định.
Ta có thể xem tích của hai phép đối xứng qua (P) và (Q) biến (R1) thành (R2), (x1) thành (x2).
Theo tính chất của hai phép đối xứng qua mặt phẳng, tích đó là một phép quay quanh giao tuyến của (P) và (Q) với góc quay bằng 900, biến (R1) thành (R2). Vì vậy (R1) ⊥ (R2) và hai mặt phẳng đó phải cắt nhau. Nếu (x1)//(x2) thì tập hợp giao tuyến của hai mặt phẳng (R1),(R2) là một mặt trụ tròn xoay.
Nếu(x1),(x2)chéo nhau thì tập giao tuyến đó là một mặt trụ tròn xoay.