trong giải toán
Dạng 1. Chứng minh các tính chất hình học
Bài toán 60. Cho tứ diện đều ABCD.
1) Chứng minh rằng mặt phẳng trung trực của cạnh AB là mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện.
2) Ta lấy điểm K bất kỳ trong tam giác ACD và gọi E là giao điểm của BK với mặt đối xứng đó. Chứng minh rằng EA+EK ≥ AB
r 2 3.
Lời giải. 1) Gọi M là trung điểm cạnh AB .
Ta có mặt phẳng đi qua CD và M chính là mặt phẳng trung trực của
AB. Mặt phẳng đó biến A thành B, biến C và D thành chính các điểm đó.
Vậy mặt phẳng trung trực của AB là mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện.
2) Ta có EB = EA, nên EA+EK = EB+EK = BK ≥ BH với H
là chân đường cao của tứ diện hạ từ B. Mà BH = AB
r 2 3. Do đó EA+EK ≥ AB r 2 3.
Bài toán 61. Cho hai phép đối xứng Đ(d) và S(P). Chứng minh rằng nếu S(P)◦Đ(d) = Đ(d)◦S(P), thì (d) ⊥ (P).
Lời giải. Với điểm M bất kỳ ta có S(P) : M 7→M1, khi đó M M1 vuông góc với (P) tại H và Đ(d) : M1 7→ M0 và M1M0 vuông góc với (d) tại K.
Ta xét Đ(d) : M 7→ M2 ,khi đó M M2 vuông góc với (d) tại I và S(P) :
M2 7→ M0 và M2M0 vuông góc với (P) tại J . Như vậy S(P) : M 7→M1 và
M2 7→ M0, nên M M2 7→ M1M0 và I 7→ K. Điều đó chứng tỏ IK ⊥ (P). Vì I và K thuộc (d), nên ta suy ra điều phải chứng minh.
Bài toán 62. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau và không vuông góc với nhau. Gọi (R) là ảnh của (Q) qua phép biến đổi S(P). Chứng minh rằng S(P)◦S(Q)◦S(P) = S(R).
Lời giải. Đặt S = S(P)◦S(Q) ◦S(P). Ta có mặt phẳng (R) là bất động của S.
Thật vậy với điểm X bất kỳ thuộc (R), ta có SP : X 7→ X0 ∈ (Q), SQ :
X0 7→ X0, SP : X0 7→ X. Vậy (R) là mặt phẳng bất động của phép biến đổi S.
Với điểm M không thuộc (P) ta cóS(P) : M 7→M1 khi đó M M1 vuông góc với (P) tại I; S(Q) : M1 7→ M2, khi đó M1M2 vuông góc với (Q) tại
K; S(P) : M2 7→ M0, khi đó M2M0 vuông góc với (P) tại H. Vậy ta có
S(P) : M1 7→ M, M2 7→ M0, do đó M1M2 7→ M M0 và K 7→ K0 là trung điểm M M0. Vì K ∈ (Q), nên K0 ∈ (R). Hơn nữa M1M2 vuông góc với (Q), do đó M M0 vuông góc với (R). Như vậy (R) là mặt phẳng trung trực của đoạn M M0 và S là phép đối xứng qua (R).
Dạng 2. Toán cực trị
Bài toán 63. Cho hình hộp chữ nhậtABCD.A0B0C0D0. Hãy tìm điểm M
Lời giải. Gọi A1B1 là đoạn thẳng đối xứng với đoạn AB qua A0B0C0D0, khi đó A1B1//AB.
VìAB//CD vàAB = CD nênA1B1//CD vàA1B1 = CD. Mặt phẳng
A1B1CD cắt mặt phẳng A0B0C0D0 theo giao tuyến đi qua giao điểm các đường chéo hình chữ nhật A0B0C0D0.
Hiển nhiên M A +M C = M A1 +M C ≥ A1C, M B1 + M D ≥ B1D. Độ dài các đoạn A1C và B1D trùng với giao điểm các đường chéo hình chữ nhật A0B0C0D0. Điểm M cần tìm chính là giao các đường chéo đó. Bài toán 64. Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng (x),(y) nằm về một phía với (P) và cùng song song với một đường thẳng thuộc (P). Hãy tìm điểm M thuộc (P) sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai đường thẳng đó đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải. Gọi(x0) là ảnh của (x) qua phép biến đổiSP, khi đó(x0)//(y). Gọi (z) là giao tuyến của mặt phẳng đi qua (x0) và (y) mọi điểm M
thuộc (z) là điểm cần tìm.
Bài toán 65. 1)Cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B nằm về một phía với (P). Tìm trong (P) điểm M M A+ M B nhỏ nhất.
2) Cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B nằm khác phía với (P). Hãy tìm trong (P) điểm M sao cho |M A−M B| đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải.
1) Gọi B0 là điểm đối xứng của B qua (P). Giao điểm M của AB0 với (P) là điểm cần tim.
2) Gọi B0 là điểm đối xứng của B qua (P). Giao điểm của AB0 với (P), nếu có, là điểm cần tìm.
Kết luận
Luận văn đã trình bày và đạt được một số kết quả sau.
1. Trình bày một số kiến thức cơ bản của phép dời hình trong mặt phẳng và trong không gian.
2. Giới thiệu một số dạng bài tập cơ bản có thể sử dụng phép dời hình để sử lý bài toán.
3. Trình bày các bài toán hay và khó trong một số kỳ thi ĐHCĐ, kỳ thi học sinh giỏi có sử dung phép dời hình để giải quyết.
4.Ngoài ra, luận văn còn trình bày một số định hướng giải khi bắt gặp bài tập tương tự đã nêu trong luận văn.
Hướng phát triển tiếp theo của luận văn là tiếp tục nghiên cứu ứng dụng phép dời hình trong việc giải các bài toán hình hoc phẳng, hình học không gian...
Tài liệu tham khảo
[1] Trần Việt Cường, Nguyễn Danh Nam (2013), Giáo trình hình học sơ cấp, NXB Giáo dục Việt Nam.
[2] Nguyễn Mộng Hy (2003), Các phép biến hình trong mặt phẳng, NXB Giáo dục.
[3] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Đăng Phất, Đỗ Thanh Sơn (2008), Hình học và một số vấn đề liên quan, NXB Giáo dục.
[4] Đỗ Thanh Sơn (2004), Phép biến hình trong mặt phẳng, NXB Giáo dục.
[5] Đỗ Thanh Sơn (2005), Phép biến hình trong không gian, NXB Giáo dục.
[6] Đào Tam (2004), Giáo trình hình học sơ cấp, NXB Đại học Sư phạm. [7] S.V.Duzhin, B. D. Tchebotarevsky (2002), Transformaion Group for