2 Iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh
2.2 Sự bảo toàn của tập iđêan nguyên tố liên kết
Trong mục này, ta đặc trưng những đồ thị có perfect matching và chỉ ra rằng tập các iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh có dạng một dãy tăng.
Cho Glà đồ thị với tập đỉnhV ={x1, . . . ,xn} vàI =IG⊂R là iđêan cạnh của nó. Ký hiệuF={f1, . . . , fq}là tập tất cả các đơn thứcxixj sao cho{xi,xj} ∈E. Để ngắn gọn, ta đặtxa=xa1
1 . . .xan
n và|a|=a1+a2+. . .+an, trong đóa= (ai)∈Nn
và fc= fc1
1 . . .fqcq,trong đóc= (ci)∈Nq. Chú ý rằng tập Nbao gồm cả số 0.
Định nghĩa 2.2.1. Sự nhân bản đỉnh xi của đồ thị G là mở rộng tập đỉnhV của nó bằng một đỉnh mớix0i và thay tập cạnhE bởi tập
E∪ {(e{xi})∪ {x0i}|xi∈e∈E}.
Sự xóa đi xi, kí hiệu G\{xi}, là đồ thị tạo thành từ G bởi bỏ đi đỉnh xi và tất cả các cạnh chứa đỉnh xi. Đồ thị thu được từ G bởi một dãy các lần xóa đi và nhân bản của các đỉnh được gọi là song song hóa củaG.
Không khó để kiểm tra được hai phép toán trên là giao hoán. Cho a= (ai) là vectơ trong Nn, ta kí hiệu Ga là đồ thị thu được từ G bằng cách liên tiếp xóa đi các đỉnh xi vớiai=0 và nhân bảnai−1 lần các đỉnh xi nếu ai ≥1.
Ví dụ 2.2.2. ChoGlà đồ thị như Hình 2.7 và a= (3,3).
Hình 2.7: Đồ thịG
Ta đặtx1i =xi vớii=1,2. Khi đó song song hóaGa là đồ thị rẽ nhánh đầy đủ với hai nhánhV1={x11,x21,x31} vàV2 ={x12,x22,x32}. Chú ý rằngxki là một đỉnh, tức là k là chỉ số chứ không phải số mũ.
Hình 2.8: Đồ thịG(3,1)(nhân bảnx1) Hình 2.9: Đồ thịG(3,3)(nhân bảnx1vàx2)
Cho đồ thị G, vành con cạnhcủa Glà vành conK[G] =K[xixj | {xi,xj} ∈E].
Bổ đề 2.2.3. ChoGlà đồ thị, tập đỉnhV ={x1, . . . ,xn}và a= (a1, . . . ,an)∈Nn. Khi đó Ga có perfect matching nếu và chỉ nếuxa∈K[G].
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử ai ≥1 với mọi i, vì nếu
a có thành phần bằng 0 thì ta có thể dùng đồ thị con cảm sinh trên tập đỉnh V ={xi|ai >0}. Tập đỉnh củaGa là Va=V(Ga) ={x11, . . . ,xa1 1 , . . . ,x1i, . . . ,xai i , . . . ,x1n, . . . ,xan n } và tập cạnh củaGa là Ea=E(Ga) ={{xki i ,xkjj} |i6= j,ki ≤ai,kj ≤aj,{xi,xj} ∈E}. Ta có thể coixa như một đa tập sắp thứ tự
xa =xa1 1 . . .xan n = (x1. . .x1) | {z } a1 . . .(xn. . .xn) | {z } an
trong tập đỉnhV, nghĩa là ta có thể đồng nhất đơn thứcxavới đa tập Va ={x1, . . . ,x1 | {z } a1 , . . . ,xn, . . . ,xn | {z } an }
trênV mà mỗi biến được xác định một cách duy nhất bởi một số nguyên thuộc tập {1, . . . ,|a|}. Số nguyên này là vị trí, từ trái sang phải, của xi trongVa. Ta có song ánh
1 2 . . . a1 a1+1 . . . a1+a2 . . . a1+. . .+an−1+1 . . . a1+. . .+an ↓ ↓ . . . ↓ ↓ . . . ↓ . . . ↓ . . . ↓ x1 x1 . . . x1 x2 . . . x2 . . . xn . . . xn ↓ ↓ . . . ↓ ↓ . . . ↓ . . . ↓ . . . ↓ x11 x21 . . . xa1 1 x12 . . . xa2 2 . . . x1n . . . xan n . Do đó nếu Ga có perfect matching thì perfect matching cảm sinh một sự phân tích thành các thừa số của xa trong đó mỗi thừa số tương ứng với một cạnh của G, nghĩa làxa∈K[G]. Ngược lại, nếuxa∈K[G]ta có thể phân tíchxathành tích của các đơn thức tương ứng với các cạnh của G và sự phân tích này cảm sinh ra một perfect matching củaGa.
Chú ý rằng quá trình chuyển từ tập đỉnhV thành tậpVavà đa tậpVa được dùng trong bổ đề trên cũng có thể được dùng để xem xét các đơn thức nói chung như là các đơn thức không chứa bình phương trong vành đa thức với phép cộng các biến và quá trình này được gọi là cực hóa. Mỗi bản sao củaxi được gọi làbóngcủa i. Ngược lại, mỗi đơn thức không chứa bình phươngM trong vànhK[Va]được xem như một đơn thức trong vành K[V] bằng cách đặt mỗi lũy thừa của xi thành một số của bóng của xi mà chia hếtM. Quá trình này được gọi làphân cực.
Cho cạnh f = {xi,xj} của G, ta kí hiệu Gf hoặc G{xi,xj} là đồ thị thu được từ Gbởi sự nhân bản liên tiếp các đỉnhxi vàxj,Gf :=G1+ei+ej, trong đóei là phần tử đơn vị thứitrong Rnvà 1= (1, . . . ,1).
Ví dụ 2.2.4. Cho đồ thị Gở Hình 2.10, các đỉnh được ghi nhãn bằngithay vìxi.
Sự nhân bản các đỉnh x1,x2 củaGđược biểu diễn trong Hình 2.11và Hình 2.12.
Hình 2.11: Đồ thịG(2,1,1,1,1,1,1) Hình 2.12: Đồ thịG(2,2,1,1,1,1,1)
Số khuyết củaG, kí hiệu làdef(G), được định nghĩa bởidef(G) =|V| −2ν(G). Do đó def(G) là số đỉnh còn lại sau khi đã bỏ đi các đỉnh được phủ bởi mỗi matching cực đại.
Bổ đề 2.2.5. Cho Glà đồ thị vàa∈Nn vàc∈Nq. Khi đó (a) xa=xδfc, trong đó |δ|=def(Ga)và |c|=ν(Ga).
(b) xathuộc IGk\IGk+1 khi và chỉ khik=ν(Ga).
(c) (Ga)f = (Ga){xi,xj} với mỗi cạnh f ={xki
i ,xkjj} của Ga. Chứng minh. (a) Ta cóxađược coi như một đa tập sắp thứ tự
xa=xa1 1 . . .xan n =x1. . .x1 | {z } a1 . . .xn. . .xn | {z } an .
Sử dụng song ánh đã được dùng trong chứng minh của Bổ đề 2.2.3 từ tập Va={x1, . . . ,x1 | {z } a1 , . . . ,xn, . . . ,xn | {z } an }vào tậpVa={x11, . . . ,xa1 1 , . . . ,x1n, . . . ,xan n } như sau x1 x1 . . . x1 x2 . . . x2 . . . xn . . . xn ↓ ↓ . . . ↓ ↓ . . . ↓ . . . ↓ . . . ↓ x11 x21 . . . xa1 1 x12 . . . xa2 2 . . . xn1 . . . xan n . trong đó các xai
i là một đỉnh chứ không phải lũy thừa của biến. Ta chia các đỉnh trongVa thành 2 phần: một phần gồm các đỉnh tạo thành các cạnh{xki
i ,xkjj} ∈Ea và một phần gồm các đỉnh xkt
t không thuộc matching cực đại nào. Mà số các cạnh {xki
i ,xkjj} ∈Ea là số cạnh trong matching cực đại củaGavà số đỉnhxkt
khuyết của Ga. Nên ta có thể viết xa=x11. . .xa1 1 . . .x1n. . .xan n = ∏ ki≤ai,kj≤aj (xki i xkjj)∏(xktt). Vậy xa=xδfc. (b) Ta có xa∈IGk\IGk+1 nếu và chỉ nếu xa=x1. . .x1 | {z } a1 . . .xn. . .xn | {z } an =h1. . .hk được phân tích thành đúngkcạnh hi ={xki i ,xkjj} ∈Ea, nếu và chỉ nếuk =ν(Ga). (c) Ta chứng minh bao hàm thứcE((Ga)f)⊂E((Ga){xi,xj}). Lấyyivàyj là bản sao tương ứng của xki
i và xkjj. Ta cũng kí hiệu bản sao củaxi và xj tương ứng là yi vàyj. Tập đỉnh chung của(Ga)f và(Ga){xi,xj}làVa∪ {yi,yj}. Lấyelà một cạnh của(Ga)f. Nếue={yi,yj}hoặc e∩ {yi,yj}= /0, khi đó hiển nhiênelà một cạnh của (Ga){xi,xj}. Do đó, ta có thể giả sử rằng e={yi,xkl l }. Khi đó {xki i ,xkl l } ∈ Ea, vì vậy{xi,xl} ∈E. Do đó{xi,xkl l } thuộc Ea, suy rae={yi,xkl l } là một cạnh của (Ga){xi,xj}. Bằng lập luận tương tự, ta cũng chứng minh được bao hàm thức ngược lại. Ví dụ 2.2.6. Cho đồ thị Gở Hình 2.13. (a) Chọna= (2,2,1), ta có đồ thịGaở Hình 2.14. Ta cóxa=x21x22x3. Tập đỉnh Hình 2.13: Đồ thịG Hình 2.14: Đồ thịG(2,2,1) củaGa là Va={x11,x21,x12,x22,x3}.
Đặt f1 = x1x2, f2 =x1x3,f3= x2x3. Ta thấy |c|= ν(Ga) =2 và |Va|= 5. Theo định nghĩa về số khuyết ta códef(Ga) =|Va| −2ν(Ga) =1. Suy ra|δ|=1.
Trường hợp 1: Nếu δ = (1,0,0) thì xδ = x1. Do đó x21x22x3 = x1f1f3. Vì vậy
xa=xδfc vớiδ = (1,0,0)vàc= (1,0,1).
Trường hợp 2: Nếu δ = (0,1,0) thì xδ = x2. Do đó x21x22x3 = x1f1f2. Vì vậy
xa=xδfc vớiδ = (0,1,0)vàc= (1,1,0).
Trường hợp 3: Nếu δ = (0,0,1) thì xδ = x3. Do đó x21x22x3 = x3(x1x2)2 =x1f12. Vì vậyxa=xδfc vớiδ = (0,0,1)vàc= (2,0,0).
Vậy xa=xδfc với|δ|=1 và |c|=2.
(b) Chọn a= (2,3,1). Đồ thịGa được biểu diễn ở Hình 2.15.
Hình 2.15: Đồ thịGavớia= (2,3,1)
Nhìn trên đồ thị ta thấy k=ν(Ga) =3. Mặt khác
xa=x21x32x3= (x1x2)(x1x2)(x2x3).
Vì xa phân tích được thành tích của đúng 3 cạnh nên xa ∈ IG3 và xa ∈/ IG4. Vậy
xa∈IG3\IG4.
(c) Chọn a = (2,2,1). Giả sử lấy cạnh f ={x11,x22}, gọi y1,y2 lần lượt là bản sao củax11,x22, vày1,y2 cũng tương ứng là bản sao củax1,x2. Ta có
E((Ga)f) =E(Ga)∪{{y1,x21},{y1,x22},{y1,x3},{y2,x11},{y2,x21},{y1,y2},{y2,x3}}. E((Ga){x1,x2}) =E(Ga)∪{{y1,x12},{y1,x22},{y1,x3},{y2,x11},{y2,x12},{y1,y2},{y2,x3}}. Suy raE((Ga)f) =E((Ga){x1,x2}).
Định lý 2.2.7. (Berge, [4, Định lý 3.1.14])ChoG là đồ thị. Khi đó
def(G) =max{c0(G\S)− |S| |S ⊂V},
trong đóc0(G) là số thành phần lẻ (thành phần có số đỉnh lẻ) củaG.
Chứng minh. Lấy bất kì tập S ⊂ V và giả sử M là matching cực đại trong G. Đặt G1, . . . ,Gk là các thành phần lẻ của G\S, khi đó k = c0(G\S). Trong các thành phần này, ta có thể đánh số lại sao cho G1, . . . ,Gi là các thành phần chứa 1 điểm không bị phủ bởi M. (Chú ý rằng nếu def(G) = 0, nghĩa là nếu G có perfect matching, thì định lý hiển nhiên đúng). Như vậy đối với mỗi thành phần Gi+1, . . . ,Gk, có ít nhất một đường nối từ thành phần S đến M trong G. Do đó k−i≤ |S|. Mặt khác,def(G)≥ivì mỗi thành phầnG1, . . . ,Gichứa 1 điểm không bị phủ. Vì vậydef(G)≥i≥k− |S|=c0(G\S)− |S|.
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo |V| rằng tồn tại một tập S sao cho đẳng thức xảy ra, nghĩa là def(G) =c0(G\S)− |S|. Kiểm tra đẳng thức trên với các đồ thị có số đỉnh nhỏ là tầm thường. Giả sử Glà đồ thị bất kì và định lý đúng với tất cả các đồ thị có số đỉnh ít hơnV. Ta xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Giả sử có một điểm v ∈V sao cho ν(G−v) < ν(G). Khi đó ν(G−v) =ν(G)−1 và
def(G−v) =|V − {v}| −2ν(G−v) =|V| −1−2(ν(G)−1) =|V| −2ν(G) +1=def(G) +1.
Theo giả thiết quy nạp, tồn tại tậpS0 ⊂V(G−v)sao cho
def(G) +1=c0(G−v\S0)− |S0|.
Tập hợpS=S0∪ {v}, ta đượcdef(G) +1=c0(G\S)− |S|+1, tức là
def(G) =c0(G\S)− |S|.
Trường hợp 2: Giả sử rằng ν(G−v) =ν(G) với mọi v∈V. Kí hiệu các thành phần củaG làH1, . . . ,Hr. VớiHi cố định, chọn 1 điểmv∈V(Hi). Khi đó
ν(G) =ν(H1) +. . .+ν(Hr) =ν(G−v)
Do đóν(Hi) =ν(Hi−v).
Vì v là một điểm bất kì trong Hi, nên theo Định nghĩa 2.1.1 về factor-critical, mỗi Hi là factor-critical nên số đỉnh của Hi là lẻ, do đó def(Hi) =1. Nhưng vì
def(G) =
r
∑
i=1
def(Hi) =r=c0(G\/0)và do đó nếu ta chọnS= /0thì đẳng thức xảy ra và định lý được chứng minh.
Kết quả sau đây cho ta mối liên hệ giữa số khuyết và số matching của đồ thị G với đồ thị nhân bảnGf của nó, với mọi f ∈E.
Định lý 2.2.8. ChoG là đồ thị. Khi đódef(Gf) =δ với mọi f ∈E khi và chỉ khi
def(G) =δ vàν(Gf) =ν(G) +1 với mọi f ∈E.
Chứng minh. Giả sử def(Gf) =δ với mọi f ∈E. Nhìn chung với mọi f ∈E ta luôn có def(G)≥def(Gf). Ta chứng minhdef(G) = def(Gf) bằng phản chứng. Giả sửdef(G)>δ. Khi đó, theo Định lý 2.2.7, cóS⊂V sao choc0(G\S)− |S|> δ. Ta đặtr=c0(G\S)vàs=|S|. Giả sửH1, . . . ,Hr là các thành phần lẻ củaG\S.
Trường hợp 1: |V(Hk)| ≥ 2 với 1 ≤ k ≤ r. Chọn cạnh f = {xi,xj} của Hk. Xét song song hóa Hk0 thu được từ Hk bằng cách nhân bản các đỉnh xi và xj, nghĩa là Hk0 = Hkf. Thành phần liên thông lẻ của Gf\S là H1,H2, . . . ,Hk−1,Hk0, Hk+1, . . . ,Hr. Do đó
c0(Gf\S)− |S|>δ =def(Gf).
Điều này mâu thuẫn với Định lý 2.2.7 của Berge khi áp dụng cho Gf.
Trường hợp 2:|V(Hk)|=1với1≤k≤r. Chú ý trong trường hợp nàyS6= /0vì G không có đỉnh cô lập. Chọn f ={xi,xj} ∈E với {xi} =V(H1) vàxj ∈S. Cho yi và yj tương ứng là bản sao của xi và xj. Thành phần lẻ của Gf\(S∪ {yj}) là H1, . . . ,Hr,{yi}. Do đó
c0(Gf\(S∪ {yj}))− |S∪ {yj}|=c0(G\S)− |S|>δ =def(Gf). Điều này lại mâu thuẫn với Định lý 2.2.7 của Berge khi được áp dụng choGf.
Do đó cả hai trường hợp đều có def(G) =def(Gf)với mọi f ∈E. Như là một hệ quả ta có ν(Gf) =ν(G) +1với mọi f ∈E.
nghĩa def(G) =|V| −2ν(G), ta có
def(Gf) =|V(Gf)| −2ν(Gf) =|V|+2−2(ν(G) +1) =|V| −2ν(G) =δ. Vì vậydef(Gf) =δ với mọi f ∈E.
Kết quả của Định lý 2.2.8 phụ thuộc vào số khuyết củaGf là hằng số với mọi f hay không. Nhìn chung, số khuyết củaGvà Gf không nhất thiết phải bằng nhau.
Ví dụ 2.2.9. Xét đồ thịGở Hình 2.16, trong đó các đỉnh được đặt nhãn làithay cho cácxi. Sự nhân bản các đỉnh 3,4của Gđược biểu diễn trong Hình 2.17.
Hình 2.16:def(G) =2 Hình 2.17:def(G(1,1,2,2,1,1)) =0 Ta có |V|=6,ν(G) =2 suy radef(G) =2. Đặt f1={1,3},f2={2,3},f3={3,4},f4 ={4,5}, f5={4,6}. Ta xét các đồ thị nhân bảnGfi vớii=1, . . . ,5. • Ta có ν(Gf1) =ν(G(2,1,2,1,1,1)) =3=ν(G) +1. • Ta có ν(Gf2) =ν(G(1,2,2,1,1,1)) =3=ν(G) +1. • Ta có ν(Gf3) =ν(G(1,1,2,2,1,1)) =46=ν(G) +1. • Ta có ν(Gf4) =ν(G(1,1,1,2,2,1)) =3=ν(G) +1. • Ta có ν(Gf5) =ν(G(1,1,1,2,1,2)) =3=ν(G) +1.
Vì tồn tại f3 ∈ E mà ν(Gf3) 6= ν(G) +1, không thỏa mãn Định lý 2.2.8 nên
def(Gf)<def(G).
Ta đưa ra đặc trưng sau của perfect matching thông qua đồ thị nhân bản của các cạnh.
Hệ quả 2.2.10. ChoGlà một đồ thị. Khi đóGcó perfect matching khi và chỉ khi
Gf có perfect matching với mọi cạnh f củaG.
Chứng minh. Giả sử rằng G có perfect matching. Cho f1, . . . ,fn/2 là một tập các cạnh của G mà tạo thành một perfect matching củaV, trong đón là số đỉnh của G. Nếu f = {xi,xj} là cạnh bất kì của G và yi,yj tương ứng là bản sao của các đỉnhxi,xj. Khi đó rõ ràng f1, . . . ,fn/2,{yi,yj}tạo thành một perfect matching của V(Gf). Ngược lại, nếu Gf có perfect matching với mọi f ∈E, thì def(Gf) =0
với mọi f ∈E. Vì vậy, theo Định lý 2.2.8, ta đượcdef(G) =0, do đóGcó perfect matching.
Bổ đề sau đóng một vai trò quan trọng trong chứng minh định lý chính. Chứng minh của bổ đề sử dụng kết quả tổ hợp trước đó về matching để chứng minh đẳng thức đại số.
Bổ đề 2.2.11. Cho IG là iđêan cạnh của đồ thị G. Khi đó (IGk+1 :IG) = IGk với