2 Iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh
2.3 Bao đóng nguyên và các tập ổn định
ChoRlà vành giao hoán, Noether vàIlà iđêan củaR. Như đã đề cập ở Chương 1, tập iđêan liên kết của bao đóng nguyên của lũy thừa của I cũng có dạng một dãy tăng và ổn định. Để so sánh các tập ổn định của hai chuỗi Ass(R/Ik) và
Ass(R/Ik), ta nhắc lại các định nghĩa và bổ đề sau.
Định nghĩa 2.3.1. Cho I = (xv1, . . . ,xvq) là iđêan đơn thức của R. Đại số Rees
củaI, kí hiệu R[It], là một vành con đơn thức
R[It] =R[xv1t, . . . ,xvqt]⊂R[t].
Vành F(I) =R[It]/mR[It] được gọi là vành thớ đặc biệt của I. Chiều Krull của F(I), kí hiệu là`(I), được gọi làđộ trải giải tíchcủaI.
Bổ đề 2.3.2. [14, Mệnh đề 7.1.17, Bài tập 7.4.10] ChoI = (xv1, . . . ,xvq)là iđêan đơn thức và A là ma trận với các vectơ cột v1, . . . ,vq. Nếu deg(xvi) =d với mọi i
thì
F(I)'K[xv1t, . . . ,xvqt]'K[xv1, . . . ,xvq]
và
`(I) =dimK[xv1, . . . ,xvq] =rank(A).
Địa phương hóa sẽ cho phép ta quy về trường hợp iđêan cực đại, nghĩa là ta chứng minh kết quả mà đặc trưng cho trường hợp m nằm trong các tập ổn định củaAss(R/Ik)và Ass(R/Ik).
Mệnh đề 2.3.3. ChoG là một đồ thị. Các điều kiện sau là tương đương: (a) m∈Ass(R/IGk) vớik nào đó.
(b) Thành phần liên thông của Glà đồ thị không rẽ nhánh. (c) m∈Ass(R/IGt ) vớit nào đó.
(d) rank(A) =n, trong đó Alà ma trận tới củaG vàn=|V|.
Chứng minh. (c) ⇔ (d) Theo [5, Định lý 3], ta cóm∈Ass(R/IGt ) khi và chỉ khi `(I) =ht(m) =n (vì độ trải giải tích củambằngrankA). Từ Bổ đề 2.3.2 ta lại có
(b) ⇔ (d) Theo [14, Bổ đề 8.3.2], rank(A) =n−c0 (trong đó c0 là số thành phần liên thông rẽ nhánh). Ta cóGlà đồ thị không rẽ nhánh khi và chỉ khic0=0, tương đươngrank(A) =n.
(a) ⇔ (b) Giả sử rằng G1, . . . ,Gr là các thành phần liên thông của G. Ta đặt Si=K[V(Gi)]vàmi= (V(Gi)). Giả sử rằngm= (m1, . . . ,mr)là iđêan nguyên tố liên kết củaR/IGk vớiknào đó. Khi đó, theo Bổ đề 2.2.13, có số nguyên dương ki sao cho mi là iđêan nguyên tố liên kết của Si/Iki
Gi. Do vậy, Gi là không rẽ nhánh với mọi ivì iđêan cạnh của đồ thị rẽ nhánh là xoắn tự do chuẩn tắc. Do đó ta đã chứng minh được (a) suy ra (b). Cuối cùng ta chứng minh (b) suy ra (a). Giả sử rằngGilà không rẽ nhánh với mọii. Khi đó theo [2, Hệ quả 3.4],mi∈Ass(Si/Iki
Gi) với ki 0. Khi đó lại theo Bổ đề 2.2.13 ta có m là iđêan nguyên tố liên kết của R/Ik với k nào đó.
Bổ đề 2.3.4. Cho L1,L2 là iđêan đơn thức với các tập biến rời nhau. Nếu L1,L2
sinh bởi đơn thức có bậc tương ứng là d1 vàd2thì`(L1+L2) =`(L1) +`(L2).
Chứng minh. Ta đặtL=L1+L2. Giả sửg1, . . . ,grvàh1, . . . ,hslà tập sinh tối thiểu tương ứng củaL1 và L2 gồm các đơn thức. Theo giả thiết, L1 và L2 ở trong vành đa thức tương ứngK[x]và K[y], trong đóx={x1, . . . ,xq}vày={y1, . . . ,ym}. Ta đặtR=K[x,y]. Vành sợi đặc biệt củaLcó thể viết được là
F(L)'K[x,y,u1, . . . ,ur,z1, . . . ,zs]/(x,y,J),
trong đóJ là iđêan biểu diễn của đại số Rees R[Lt]và u1, . . . ,ur,z1, . . . ,zs là một tập biến mới. IđêanJ là hạt nhân của ánh xạ
K[x,y,u1, . . . ,ur,z1, . . . ,zs]→R[Lt], xi 7→xi,yj 7→yj,ui7→git,zj 7→hjt. VìJ là iđêan toric, nên tập sinh của J gồm nhị thức có dạng
xαyβuγzδ−xα0 yβ0 uγ0 zδ0 sao cho xαyβgγhδt|γ|+|δ| = xα0 yβ0 gγ0 hδ0
t|γ0|+|δ0|. Từ phương trình này, ta được
xαgγ =xα0 gγ0 , yβhδ =yβ0 hδ0 vàt|γ|+|δ| =t|γ0|+|δ0|. Do đó |α|+d1|γ|=|α0|+d1|γ0|,|β|+d2|δ|=|β0|+d2|δ0|,|γ|+|δ|=|γ0|+|δ0|.
Ta khẳng định rằng deg(xαyβ) =0 khi và chỉ khi deg(xα0
yβ0
) =0. Giả sử rằng
deg(xαyβ) =0nghĩa làα =β =0.Từ đẳng thức đầu tiên, ta có
|α0|=d1(|γ| − |γ0|). Từ đẳng thức thứ hai và thứ ba ta được
|β0|+d2|δ0|=d2|δ|=d2(|γ0|+|δ0| − |γ|)
⇒ |β0|=d2(|γ0| − |γ|).
Với|α0| ≥0 và |β0| ≥0, ta được γ−γ0 =0. Do đó α0 =β0 =0 hay khẳng định được chứng minh. Vì vậy ta có biểu diễn đơn giản hơn cho vành sợi đặc biệt của L
F(L)'K[u1, . . . ,ur,z1, . . . ,zs]/P'K[g1t, . . . ,grt,h1t, . . . ,hst], (2.3.1) trong đó P là iđêan toric của K[g1t, . . . ,grt,h1t, . . . ,hst]. Giả sử A1,A2 lần lượt là ma trận mà các cột của nó là vectơ lũy thừa của các đơn thức tương ứng g1t, . . . ,grt và h1t, . . . ,hst và A là ma trận mà các cột của nó là vectơ lũy thừa của các đơn thức g1t, . . . ,grt,h1t, . . . ,hst. Tập các biếnx và y là rời nhau. Do đó
rank(A) =rank(A1) +rank(A2). Vì
F(L1) =K[g1t, . . . ,grt], F(L2) =K[h1t, . . . ,hst],
F(L)'K[g1t, . . . ,grt,h1t, . . . ,hst],
nên theo Bổ đề 2.3.2 ta có `(L1) =rank(A1), `(L2) = rank(A2), `(L) =rank(A). Vì vậy theo Công thức 2.3.1 ta được`(L) =`(L1) +`(L2).
Để phục vụ cho việc chứng minh định lý chính của mục này, ta nhắc lại kết quả sau trong [6, Mệnh đề 3.4] và [11, Định lý 2.8]
Mệnh đề 2.3.5. ChoI là iđêan trong vành NoetherR. Khi đó
(a) Ass(R/Ik)⊆Ass(R/Ik+1), tức là các tậpAss(R/Ik)có dạng một dãy tăng. (b) Ass(R/I)⊆Ass(R/I).
Ta thấy rằng các tập Ass(R/Ii) và Ass(R/Ii) là ổn định với i đủ lớn. Kết quả tiếp theo chỉ ra rằng đối với iđêan cạnh, các tập ổn định tương ứng của chúng là bằng nhau.
Định lý 2.3.6. ChoIGlà iđêan cạnh của đồ thịG. Khi đó tồn tại số nguyên dương
N sao cho
Ass(R/IGk) =Ass(R/IGk)với k≥N.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.3.5(b), ta luôn có Ass(R/IGk)⊆ Ass(R/IGk). Bây giờ ta đi chứng minh bao hàm thức ngược lạiAss(R/IGk)⊆Ass(R/IGk).
Theo [1], tồn tại một số nguyên dươngN1sao choAss(R/IN1
G ) =Ass(R/IGk)với k≥N1và theo [11], tồn tại số nguyên dươngN2sao choAss(R/IN2
G ) =Ass(R/IGk) vớik ≥N2. ĐặtN =max{N1,N2} và giả sử rằngk≥N. Lấy p∈Ass(R/IGk).
Trường hợp 1: p=m. Theo Mệnh đề 2.3.3,p∈Ass(R/IGi )với chỉ sốinào đó. Do đóp∈Ass(R/IGk)vì các tập Ass(R/IGj)có dạng một dãy tăng (theo Mệnh đề 2.3.5(a)).
Trường hợp 2: p = (x1, . . . ,xr)( m. Giả sử I1,I2 và S như trong chứng minh của Định lý 2.2.14 và Xi là tập các biến xuất hiện trong tập sinh tối thiểu củaIi. Chú ý rằngp= (X1,X2). Vì plà một iđêan nguyên tố liên kết củaS/(I1+I2)k nên áp dụng Bổ đề 2.2.13 vớiI1S+I2S, trong đó ta coiIi là một iđêan củaSi =K[Xi], ta có thể viết p =p1S+p2S, trong đó p1∈Ass(S1/Ik1
1 ) và p2∈Ass(S2/Ik2 2 ) với (k1−1) + (k2−1) =k−1. Chú ý rằng pi = (Xi). Do đó, áp dụng Mệnh đề 2.3.3 với đồ thị G2 liên kết vớiI2, ta được hạng của ma trận liên thông AG2 của G2 là
|X2|. Mặt khác độ trải giải tích củaI2 bằng chiều Krull của vành con cạnhK[G2] và bằng hạng của AG2 (theo Bổ đề 2.3.2) nên
`(I2) =dimK[G2] =rank(AG2) =|X2|. VìI1 sinh bởi|X1|biến, nên ta có`(I1) =|X1|. Theo Bổ đề 2.3.4,
`(I1+I2) =`(I1) +`(I2) =|X1|+|X2|=ht(p).
Vì vậy, sử dụng [5, Định lý 3], vì `(I1+I2) =ht(p) nên ta có thể kết luận rằng p∈S/(I1+I2)i vớii0. Vì thế ta cópRp∈Rp/(I1+I2)pi =Rp/Ipi. Vì vậy, theo [8, Hệ quả, trang 38] và tính chất bao đóng nguyên của iđêan giao hoán với địa phương hóa, ta được p∈R/Ik. Suy rap∈Ass(R/IGk).
Vậy Ass(R/IGk)⊆Ass(R/IGk).
Hệ quả 2.3.7. Cho G là đồ thị và IG là iđêan cạnh của nó. Khi đó IG là xoắn tự do chuẩn tắc khi và chỉ khiAss(R/IGi ) =Ass(R/IG)vớii≥1.
Chứng minh. ⇒) Chiều này được suy ra ngay từ chú ý rằng IG chuẩn tắc, nghĩa làIGi =IGi vớii≥1.
⇐) Theo Định lý 2.2.14, Ass(R/IG) ⊆ Ass(R/IGi ) với i ≥ 1 nên ta chỉ cần chứng minh rằngAss(R/IGi )⊆Ass(R/IG)vớii≥1. Giả sửplà một iđêan nguyên tố liên kết củaR/IGi vàN là chỉ số ổn định củaIG. Khi đó, theo Định lý 2.2.14,p là một iđêan nguyên tố liên kết của R/IGN. Vì vậy, theo Định lý 2.3.6, p là iđêan nguyên tố liên kết của R/IGk vớik 0. Do đó theo giả thiếtp là iđêan nguyên tố liên kết củaI.
Ví dụ tiếp theo được tính toán sử dụng phiên bản 1.4 của Macaulay2. Phiên
bản này cho phép sử dụngNormalizbên trongMacaulay2để tính toán bao đóng nguyên của iđêan đơn thức và sự chuẩn hóa của đại số Rees của iđêan đơn thức. Ví dụ 2.3.8 chỉ ra rằng mặc dù các tập ổn định của Ass(R/Ii) và Ass(R/Ii) là bằng nhau nhưng chúng không nhất thiết đạt được cùng một lũy thừa.
Ví dụ 2.3.8. Cho R= Q[x1, . . . ,x9] và I là iđêan cạnh của đồ thị ở Hình 2.18. Chú ý rằng ví dụ được tính mà không sử dụng Định lý 2.3.6
Hình 2.18: Đồ thịGvới iđêan cạnhIkhông chuẩn tắc
Sử dụng Macaulay2cùng với kết quả đã được tính trong [2, Hệ quả 4.3] là chỉ số ổn định của I lớn nhất là 8 và tập ổn định của Ass(R/Ii) chứa trong tập ổn định của Ass(R/Ii), ta được
Ii=Ii,i=1,2,3,I4=I4+ (xa),I5=I5+I(xa), trong đó xa=x1x2x3x4x5x6x7x8x9,
Ass(R/I)(Ass(R/I2)(Ass(R/I3)(Ass(R/I4) =Ass(R/Ii) vớii≥4,
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày và chứng minh chi tiết các kết quả trong bài báo Asso- ciated primes of powers of edge ideals của J. Martinez-Bernal, S. Morey và R. Villarreal. Các vấn đề chính được trình bày như sau:
1. Trình bày lại một số kiến thức về tập iđêan nguyên tố liên kết, iđêan đơn thức, đồ thị và iđêan cạnh.
2. Nhắc lại một số tính chất của bao đóng nguyên.
3. Nhắc lại định nghĩa và lấy một số ví dụ về Matching và Factor-critical. 4. Trình bày lại các chứng minh về kết quả chính thứ nhất của bài báo về tập
iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh tạo thành một dãy tăng. 5. Trình bày lại các chứng minh về kết quả chính thứ hai của bài báo nói rằng
Tài liệu tham khảo
[1] M. Brodmann (1979), "Asymptotic Stability of Ass(M/InM)", Pro. Amer. Math. Soc.,74, 16-18.
[2] J. Chen, S. Morey and A. Sung (2002), "The stable set of associated primes of the ideal of a graph", Rocky Mountain J. Math,32, 71-89.
[3] C. Huneke and I. Swanson (2006), Integral Closure of Ideals, Rings, and Mod- ules, London Math. Soc., Lecture Note Series336 , Cambridge University Press, Cambridge.
[4] L. Lovasz and M. D. Plummer (1986),Matching theory, Annals of Discrete Math- ematics 29, Elsevier Science B.V., Amsterdam.
[5] S. McAdam (1980), Asymptotic prime divisors and analytic spreads, Proc. Amer. Math. Soc.(80), 555–559.
[6] S. McAdam (1983), Asymptotic prime divisors , Lecture Notes in Mathematics
103, Springer-Verlag, New York.
[7] M. Morales and N. T. Dung, "Irreducible decomposition of powers of edge ideals", preprint.
[8] H. Matsumura (1986),Commutative Ring Theory, Cambridge University Press. [9] J. Martinez-Bernal, S. Morey and R. Villarreal (2012), "Associated primes of
[10] W. F. Moore, M. Rogers and S. Sather-Wagstaff (2018),Monomial ideals and their decompositions, Springer.
[11] L. J. Ratliff, Jr. (1984), "On asymptotic prime divisors", Pacific J. Math. (111), no. 2, 395–413.
[12] R. Y. Sharp (1990), Step in Commutative Algebra, Cambridge University Press. [13] A. Simis, W. V. Vasconcelos and R. H. Villarreal (1994), "On the ideal theory of
graphs", J. Algebra,167, 389–416.
[14] R. Villarreal (2001), Monomial Algebras, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics238, Marcel Dekker, Inc., New York.