3 BÀI TOÁN PHÂN BỐ SẢN XUẤT VỚI CHI PHÍ LÕM
3.4 VÍ DỤ MINH HỌA THUẬT TOÁN
Mục này trình bày một số ví dụ cụ số cỡ nhỏ để minh họa cho thuật toán nêu trên:
Ví dụ 3.1. Giải bài toán (P) với m = 3, n =5: b = (62, 65, 51, 10, 15) C = 6 66 68 81 4 40 20 34 83 27 90 22 82 17 8 fi(xi) = 0 khixi = 0 di+cixi khixi >0 i=1, 2, 3. trong đó c =1,7 8,4 4,7 , d =1 88 39 Kết quả tính toán được tóm tắt như sau: Nghiệm tối ưu của (Q1):
(t1, x1) =3636 303 0 0.
Vòng lặp 1: Giá trị mục tiêu tối ưu của(T1) :g1 = 9000 > t1. Các thế vị tương ứng vớix1 :u1 = 0 −46 −64
,v1 = 6 66 68 81 4. Ràng buộc mới 1:−t−46x2−64x3+ 9000 60.
Nghiệm tối ưu của(Q2):
(t2, x2) =363 119,1875 0 83,8125.
Vòng lặp 2: Giá trị mục tiêu tối ưu của(T2) :g2 = 5535,25> t2. Các thế vị tương ứng vớix2 :u2 = −106 −140 −102
,
v2 =112 124 174 119 110.
Ràng buộc mới 2:−t−106x1−140x2−102x3+ 267186 0. Nghiệm tối ưu của(Q3):
(t3, x3) =3636 104,7 51,5 46,8.
Vòng lặp 3: Giá trị mục tiêu tối ưu của(T3) :g3 = 4651,44407> t3. Các thế vị tương ứng vớix3 :u3 = −60 −94 −92
,
v3 = 66 114 128 109 64 .
Ràng buộc mới 3:−t−60x1−94x2−92x3+ 200806 0. Nghiệm tối ưu của(Q4):
(t4, x4) =3636 73,176 54,824 75.
Vòng lặp 4: Giá trị mục tiêu tối ưu của(T4) :g4 = 3773,647> t4. Các thế vị tương ứng vớix4 :u4 = −48 −46 −44
,
v4 =54 66 80 61 52.
Ràng buộc mới 4:−t−48x1−46x2−44x3+ 131086 0. Nghiệm tối ưu của(Q5):
(t5, x5) =3766 77 51 75.
Vòng lặp 5: Giá trị mục tiêu tối ưu của(T5) :g5 = 3766 = t5. Dừng thuật toán. Nghiệm tối ưu của bài toán:
• Vectơ sản xuất: x1 = 77, x2 = 51, x3 = 75.
• Phương án vận chuyển:
• Chi phí tổng cộng (sản xuất + vận chuyển) nhỏ nhất bằng4805,8.
Như vậy, thuật toán phân rã trình bày trên đây gồm hai việc chính là giải các bài toán qui hoạch lõm (Qk), xem kẽ với giải các bài toán vận tải (Tk). Các bài toán
được giải theo thuật toán thế vị quen thuộc của qui hoạch tuyến tính.
Thực tế tính toán giải bài toán phân bố sản xuất với chi phí lõm cho thấy rằng nếu cước phí vận chuyển đáng kể so với chi phí sản xuất ở các nhà máy thì nghiệm tối ưu của bài toán (P) nhận được theo thuật toán phân rã thường trùng với lời giải đạt cực tiểu cước phí vận chuyển (mỗi hộ tiêu thụ được cung cấp hàng từ nhà máy gần nhất). Cụ thể là: xoptij = bj khii =i(j) 0khii 6=i(j) j=1,..., n. xopti = n X j=1 xoptij ;i = 1, ..., m
trong đó i(j) là chỉ số dòng sao cho
ci(j)j = min
16k6mckj;j = 1, ..., n.
Mặt khác, nếu chi phí sản xuất tốn kém hơn nhiều so với cước phí vận chuyển thì trong lời giải tối ưu của bài toán có nhiều chỉ số i vớixopti = 0 (hàng hóa được sản xuất ở nhà máy có chi phí tương đối rẻ hơn so với các nhà máy khác).
Ví dụ 3.1 đã xét không thuộc trường hợp nào kể trên, trong đó chi phí sản xuất và cước phí vận chuyển có sự cạnh tranh lẫn nhau.
Cũng từ kinh nghiệm tính toán cho thấy công việc chủ yếu tốn nhiều công sức tính toán là giải bài toán qui hoạch lõm(Qk). Còn các bài toán vận tải(Tk)được giải tương đối dễ dàng. Số các ràng buộc thêm vào, tức là số các vòng lặp cần thực hiện để nhận được lời giải tối ưu của (P) thường vào khoảng m+n, ngay cả khi tổng số ràng buộc của bài toán (CP) khá lớn (số này bằng số phần tử của M¨). Vì thế, trong phần lớn trường hợp chỉ một số ít ràng buộc (3.6) được dùng đến khi giải (P) theo thuật toán phân rã trên. Ưu điểm của thuật toán phân rã so với cách tiếp cận trực tiếp là rất đáng kể đối với những bài toán có m (số nhà máy) nhỏ hơn nhiều so với n (số hộ tiêu thụ).
thù, gọi là bài toánphân bố sản xuất với chi phí lõm. Bài toán này thường gặp trong thực tiễn lập kế hoạch sản xuất kinh doanh của các hãng hay công ty. Trong chương đã trình bày phương pháp phân rã bài toán. Phương pháp dựa trên việc giải bài toán ban đầu thông qua việc giải bài toán qui hoạch lõm cỡ nhỏ hơn và các bài toán vận tải tương ứng. Cuối chương xét ví dụ số minh họa cho thuật toán giải đã trình bày.
KẾT LUẬN
Luận văn đã đề cập tới bài toán qui hoạch lõm ràng buộc tuyến tính và một số trường hợp riêng là bài toán phân bố sản xuất với chi phí lõm. Đây là các bài toán thuộc lớp tối ưu toàn cục rất đáng được quan tâm nghiên cứu.
Luận văn đã trình bày các nội dung chính sau:
• Kiến thức cơ sở về tập lồi, tập lồi đa diện, về hàm lồi, hàm lõm và hàm tựa lõm cùng một số tính chất của chúng. Cách xác định tập đỉnh của một đa diện lồi.
• Tính chất cực trị của hàm lồi, hàm lõm: cực tiểu địa phương của hàm lõm nói chung không là cực tiểu toàn cục và cực tiểu của hàm lõm nếu có sẽ đạt được tại điểm cực biên (nói riêng, tại đỉnh) của tập ràng buộc. Bài toán qui hoạch lõm: tìm cực tiểu của hàm lõm (hay tựa lõm) trên tập lồi đóng. Phương pháp xấp xỉ ngoài giải qui hoạch lõm nói chung và qui hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính nói riêng.
• Phương pháp giải bài toán phân bố sản xuất với chi phí lõm, dựa trên ý tưởng phân rã bài toán ban đầu thành một số bài toán qui hoạch lõm với ít biến số hơn và các bài toán vận tải tương ứng. Bài toán qui hoạch lõm sẽ giải theo thuật toán xấp xỉ ngoài, còn bài toán vận tải theo thuật toán thế vị của qui hoạch tuyến tính.
Luận văn đã đề cập tới phương pháp xấp xỉ ngoài giải qui hoạch lõm và bài toán phân bố sản xuất với chi phí lõm. Hy vọng trong tương lai, tác giả luận văn sẽ có dịp được tìm hiểu thêm về các phương pháp và thuật toán khác của qui hoạch lõm và các ứng dụng của chúng.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Trần Vũ Thiệu và Bùi Thế Tâm (1998),Các phương pháp tối ưu hóa. Nhà xuất bản Giao thông vận tải.
[2] Hoàng Tụy (2003), Lý thuyết tối ưu (Bài giảng lớp cao học). Viện Toán học, Hà Nội.
Tiếng Anh
[3] Thieu T. V., (1984), A finite method for globally minimizing concave func- tions over unbounded polyhedral convex sets and its applications, Acta math. Vietnamica, Vol.9, pp. 173 - 191.
[4] Thieu T. V. (1987), Solving the lay - out planning problem with concave cost,
Essays on Nonlinear Analysis and Optimization Problems, pp. 101 - 110. [5] Hoang Tuy (1998),Convex analysis and global optimization. Kluwer Academic