Theo mục 1.1, ta có
1
(1−x)3 = 1 + 3x+ 6x2 +· · ·+S3(n)xn−1 +· · · ,|x| < 1.
Vậy hàm sinh của các số tam giác là (1−1x)3. Để tìm hàm sinh của các số đa giác ta có mệnh đề sau.
Cho hai đa thức với hệ số thực
với m < n. Khi đó hàm phân thức gf((xx)) là hàm sinh của dãy c0, c1, ..., cn, .... thì các ci thỏa mãn các phương trình tuyến tính
b0cn+k +b1cn+k−1 +· · ·+bnck = 0. Thật vậy, ta có phân tích
f(x)
g(x) = c0 +c1x+· · ·+cnxn +· · · ,|x| < r,
trong đó f(x) = min1≤i≤n|xi|, x1, ..., xn là các nghiệm của đa thức g(x). Hơn nữa f(x) =g(x)(c0 +c1x+· · ·+cnxn +· · ·). So sánh hệ số 2 vế ta có c0, c1, ..., cn, .... thỏa mãn các phương trình tuyến tính
b0cn+k +b1cn+k−1 +· · ·+bnck = 0.
Hơn nữa cho dãy c0, c1, ..., cn, .... thỏa mãn các phương trình tuyến tính b0cn+k +b1cn+k−1 +· · ·+bnck = 0. Ta định nghĩa ai = Pi k=0bkci−k, i = 1, ..., n−1. Ta có a0+a1x+· · ·+an−1xn−1 = (b0+b1x+· · ·+bnxn)(c0+c1x+· · ·+cnxn+· · ·). Hay ta có a0 + a1x+· · ·+an−1xn−1 b0 +b1x+· · ·+bnxn = c0 +c1x+· · ·+cnxn+ · · · .
Vì vậy hàm sinh của dãy c0, c1, ..., cn, .... có dạng fg((xx)), trong đó g(x) =
b0+b1x+· · ·+bnxn, f(x) = a0+a1x+· · ·+an−1xn−1,ai = Pi
k=0bkci−k, i= 1, ..., n−1.
Vận dụng kết quả trên ta có hàm sinh của các số đa giác.
Định lý 2.3.1. Hàm sinh của các số đa giác Sm(1), Sm(2), ..., Sm(n), ... là
1+(m−3)x
(1−x)3 .
Chứng minh. Ta có Sm(n+ 1) = Sm(n) + (1 + (m−2)n). Từ đây ta có Sm(n+ 3)−3Sm(n+ 2) + 3Sm(n+ 1)−Sm(n) = 0.
Đặt cn = Sm(n+ 1). Ta có c0 = 1, c1 = m, c2 = 3m −3, cn+3 −3cn+2 + 3cn+1 − cn = 0, b0 = 1, b1 = −3, b2 = 3, b3 = −1. Hàm sinh của các số đa giác có dạng
a0 +a1x+a2x2 b0 +b1x+ b2x2 +b3x3,
trong đó a0 = b0c0 = 1, a1 = m − 3, a2 = 0. Vậy hàm sinh của dãy là
1+(m−3)x
(1−x)3 .