Ta có, công thức tổng quát của số m - giác thứ n là: Sm(n) = n[(m−2)n−m+ 4]
2 =
m−2 2 (n
2 −n) + n,
với mọi n nguyên. Với n nguyên dương, ta có các số đa giác thông thường. Với n = 0, ta có: Sm(0) = 0.
Với n nguyên âm, ta có:
Sm(−n) = n[(m−2)n+m−4]
2 =
m−2 2 (n
2 +n)−n.
Ta sẽ xem xét tính chất của các số Sm(−n), n ∈ N. Để thuận tiện, ta đặt Sm(−n) =− Sm(n). Vậy theo định nghĩa, ta có:
−Sm(n) =Sm(−n) = n[(m−2)n+m−4] 2 = m−2 2 (n 2 +n)−n, n∈ N. Đặc biệt, ta có: −S3(n) = n(n2−1), −S4(n) =n2.
Vậy, số tam giác có chỉ số âm chính là số tam giác thông thường đứng ngay trước nó. Nghĩa là: −S3(n) = S3(−n) = S3(n−1).
Ta có, dãy số tam giác thông thường là 0, 1, 3, 6, 10,...
Vậy dãy số tam giác tổng quát là ..., 10, 6, 3, 0, 0, 1, 3, 6, 10,...n∈ Z
Số hình vuông có chỉ số âm chính là các số hình vuông thông thường. Nghĩa là: −S4(n) = S4(−n) =n2.
Ta có dãy số hình vuông thông thường là 1, 4, 9, 16, 25,...
Vậy dãy số hình vuông tổng quát là ..., 25, 16, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 16, 25,... hay 0, 1, 1, 4, 4, 9, 9, 16, 16, 25, 25,... n= 0,±1,±2,±3,±4,±5, ... .
Số pronic (hay số heteromecic) là tích của hai số nguyên dương liên tiếp. Do đó, số pronic thứ n, kí hiệu là P(n), được xác định bởi công thức:
P(n) = n(n+ 1).
Các số này đôi khi được gọi là số hình chữ nhật vì chúng có thể biểu thị bằng hình chữ nhật cạnh n và n+ 1.
Hình 2.15: Số pronic vớin= 5
Các số pronic đầu tiên là 2, 6, 12, 20, 30,... Ta có: Số pronic thứ n gấp đôi số tam giác thứ n:
P(n) = 2S3(n).
Hình 2.16:P(5) = 2S3(5)
Số gnomonic có quan hệ chặt chẽ với số hình vuông. Số gnomonic có biểu diễn hình học là hình chữ L, thu được từ việc lấy số hình vuông thứ n trừ đi số hình vuông thứ n−1. Từ n2 −(n−1)2 = 2n−1, ta có các số gnomonic đều là các số nguyên lẻ 2n−1, n ∈ Z.
Hình 2.17: Các số gnomonic vớin= 1,2,3,4,5
gnomonic thứ n Gn(n) xác định bởi công thức: Gn(n) = 2n−1
= S4(n)−S4(n−1).
Số kim cương Aztec là số điểm xếp đầy hình kim cương Aztec. Hình kim cương Aztec thứ n là hình thu được bằng việc ghép bốn hình cầu thang cạnh n lại với nhau. Số kim cương Aztec Az(n) xác định bởi công thức:
Hình 2.18: Các sốAz(n)vớin= 1,2,3,4
Az(n) = 2n(n+ 1)
Một số số kim cương Aztec đầu tiên: 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112, 144, 180, 220, . . . (Sloane’s A046092). Vậy ta có:Az(n) = 4S3(n) = 2P(n). Tức là, số kim cương Aztec thứ n gấp bốn lần số tam giác thứ n và gấp đôi số pronic thứ n.