Ta sẽ khái quát hóa khái niệm đường thẳng trongRnlên đa tạp. Nhắc lại rằng một đường thẳng trongRnlà ảnh của một cung tham số γ có đạo hàm cấp hai bằng 0, tức là
d2
dt2γ(t) = 0, ∀t.
Cho đa tạpMvới liên thông affine∇vàγ :I → Mlà một cung tham số. Kí hiệu X(γ)là tập các trường vectơ trơn dọc cungγ.
Định nghĩa 1.2.15. Ánh xạ
D
dt :X(γ) → X(γ) ξ 7→ dtDξ
được gọi làđạo hàm cấp 1 của trường vectơdọc cungγnếu nó thỏa mãn các tính chất (i) D dt(aξ+bζ) = adtDξ+bdtDζ, a, b∈R, (ii) D dt(f ξ) = f0ξ+fdtDξ, f ∈F(I), (iii) D dt(η◦γ)(t) =∇γ(t)˙ η, t∈I, η ∈X(M).
Người ta chứng minh được đạo hàm cấp 1 của một trường vectơ dọc một cung tham số tồn tại duy nhất.
Cho γ(t)là một cung tham số. Ánh xạt7→γ(t)˙ cho ta đạo hàm của cung tham số γ.
Định nghĩa 1.2.16. Đạo hàm cấp 2 của trường vectơ dọc cungγ được xác định bởi
D2
dt2γ := D dtγ.˙
Chú ý rằng D2
dt2γ phụ thuộc vào việc chọn liên thông affine trong khiγ˙ thì khơng. Đặc biệt, trongRn, với liên thơng Euclide chuẩn tắc, ta có
D2
dt2γ =Pγ(t)d 2γ
dt2. (1.6)
Định nghĩa 1.2.17. Giả sửMlà một đa tạp với liên thông affine∇. Một cungγ trên
Mđược gọi làcung trắc địanếu D2
dt2γ(t) = 0với mọit.
Chú ý rằng các liên thông affine khác nhau xác định những cung trắc địa khác nhau.
Với mọi ξ ∈ TxM, tồn tại một khoảng I chứa 0 và duy nhất một cung trắc địa γ(t;x, ξ) :I → Msao choγ(0) =xvàγ(0) =˙ ξ. Hơn nữa, ta cóγ(t, x, aξ) =γ(at, x, ξ).
Định nghĩa 1.2.18. Cho đa tạpMvới liên thông affine∇. Ánh xạ
expx:TxM → M
ξ 7→ expxξ=γ(1, x, ξ), vớiγ là cung trắc địa củaM, được gọi làánh xạ mũtạix.
Rộng hơn, ta có thể định nghĩa exp :TM → M (x, ξ) 7→ expxξ =γ(1, x, ξ) = γ kξk, x, ξ kξk ,
ở đây kí hiệu(x, ξ)để chỉ vectơξvới gốcx. Ánh xạexplà khả vi vàexpx0x=x,∀x∈ M.
Về mặt hình học,expxξlà một điểm thuộcM, thu được bằng cách đi chuyển một
khoảngkξk, bắt đầu từx, dọc theo một cung trắc địa đi quaxvới vectơ vận tốc ξ
Ví dụ 1.2.19. Xét trong Rn. Do đạo hàm dọc một cung tham số trùng với đạo hàm thông thường nên cung trắc địa là đường thẳng. Xét đường thẳng đi quax0 với vectơ chỉ phươngv, có phương trìnhx(t) =x0+vt. Khi đó, ánh xạ mũ của vectơv tại điểm x0làexpx0v =x0+v, đây chính là phép tịnh tiến điểmx0theo vectơv.
Ví dụ 1.2.20. Xét mặt cầu đơn vịS2 trongR3.
1. Ta chứng minh rằng một cung γ là cung trắc địa của S2 nếu và chỉ nếu nó là đường trịn lớn của S2.
• Trước hết, ta có phép chiếu trực giao lênTxS2là Pxξ= I−xx>ξ.
Với mỗi điểmx0 bất kỳ của S2, ta hồn tồn có thể chọn hệ tọa độ sao cho x0 là điểm cực bắc củaS2. Tức làx0 = (0,0,1). Đường tròn lớn đi quax0 và một điểm(a, b,0)nằm trên mặt phẳngxOy là ảnh của cung tham số
t7→x(t) = (asint, bsint,cost)>, vớia2+b2 = 1.
Ta có
dx
dt = (acost, bcost,−sint)>
d2x
dt2 = (−asint,−bsint,−cost)>. Do đó theo (1.6) D2 dt2x(t) = Px d2x dt2
= I−x(t)x(t)>(−asint,−bsint,−cost)>
=−
a2sin2t−1 absin2t asintcost absin2t b2sin2t−1 bsintcost asintcost bsintcost cos2t−1
−asint −bsint −cost
= (a2sin2t+b2sin2t+ cos2t−1) asint bsint cost = 0.
Vậy mỗi đường tròn lớn của mặt cầu là một cung trắc địa của nó.
• Bây giờ xét cung trắc địa bất kỳ γ(t) trên S2, lấy bất kỳ x ∈ γ và ξ là một vectơ tiếp xúc củaγ tạix. Gọi E ⊂ R3 là mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu và điểm x đồng thời song song với vectơ ξ. E cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn lớn C. Kí hiệu f : S2 → S2 là phép đối xứng qua mặt phẳng E của S2. Ánh xạ này là một tự đẳng cấu và nó giữ nguyên các điểm của C. Cung f ◦γ cũng là một cung trắc địa của S2 tại x và vectơ tiếp xúc của nó tạixcũng làξ. Do tính duy nhất của cung trắc địa, ta phải cóf◦γ =γ trong lân cận x. Điều này kéo theo phần của γ trong lân cận của x thuộc đường trịn lớnC. Doxlà bất kì nên tồn bộγ được chứa trongC. Ta có điều phải chứng minh.
2. Để xác định ánh xạ mũ, ta xét cung trắc địa đi qua điểmx0, theo phương vectơξ. Ta có phương trình kxk= 1 x=λx0+µξ , (λ, µ∈R). (1.7) Sử dụng kx0k= 1vàx0 ⊥ξ, hệ (1.7) cho taλ2+ (µkξk)2= 1.Vậy ta có thể đặt λ= cos(αt), µ= 1 kξksin(αt), khi đó x(t) = x0cos(αt) + ξ kξksin(αt). Suy ra ˙ x(t) = −x0αsin(αt) + ξ kξkαcos(αt). (1.8)
Thayt= 0 vào (1.8), chọnx(0) =˙ ξ, ta đượcξ = ξ
kξkα⇒α=kξk. Ta có phương
trình cung trắc địa
x(t) = x0cos(kξkt) + ξ
kξksin(kξkt). (1.9)
Ánh xạ mũ trong trường hợp này là
expx0ξ=x0cos(kξk) + ξ
kξksin(kξk).
Chẳng hạn, xét các điểm ξ ∈Tx0S2, màkξk =π, ta cóexpx0 = −x0. Vậy ánh xạ mũ biến đường trịn tâm0, bán kínhπtrongTx0S2 thành điểm xun tâm đối của x0. Với bất kìξ ∈Tx0S2, kí hiệudg(x0,expx0ξ)là độ dài phần cung trắc địa từx0 đếnexpx0ξ, theo (3.4), ta có:
dg(x0,expx0ξ) = arccos(x>0 expx0ξ) = kξk.
Như vậy ta có thể hình dung, nếux0là điểm cực bắc của mặt cầu thì điểmexpx0ξ được xác định bằng cách di chuyển từ cực bắc trên đường kinh tuyến theo phương ξ, một quãng bằngkξk.
3. Tổng quát, xét mặt cầu đơn vịSn−1 với mêtric Riemann và liên thông Riemann. Cung trắc địat7→x(t)được xác định như sau
x(t) =x(0) cos(kx(0)kt) + ˙˙ x(0) 1