2 Ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann cho ¡nh x¤ khæng gi¢n
2.3.1 Ùng döng cho ph÷ìng ph¡p t¡ch DouglasRachford
Trong möc n y, chóng tæi tr¼nh b y mët ùng döng cho ph÷ìng ph¡p t¡ch
DouglasRachford t¼m khæng iºm cõa to¡n tû T vîi T l têng cõa hai to¡n
tû ìn i»u cüc ¤i, tùc l T = A+B vîi A, B : H → 2H l c¡c to¡n tû ìn
i»u cüc ¤i a trà tr¶n khæng gian Hilbert H.
X²t γ > 0 l sè d÷ìng cho tr÷îc. °t
JγA := (I +γA)−1 v JγB := (I +γB)−1
t÷ìng ùng l gi£i thùc (to¡n tû gi£i) cõa to¡n tû A v B. Ta câ JγA, JγB l to¡n tû khæng gi¢n. °t
RγA := 2JγA −I v RγB := 2JγB −I
l to¡n tû Cayley công l to¡n tû khæng gi¢n.
V¼ 0 ∈ T x vîi T = A +B khi v ch¿ khi x = JγB(y), trong â y l iºm
b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n RγARγB, n¶n v§n · t¼m khæng iºm cõa
to¡n tû T = A+B l vªn döng ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann cho
to¡n tû n y, d¢y l°p
÷a ra mët x§p x¿ trong c¡c bi¸n ban ¦u b¬ng c¡ch °t xn := JγB(yn). Ph÷ìng ph¡p l°p x¡c ành trong d¢y l°p (2.20) ÷ñc gåi l ph÷ìng ph¡p
t¡ch DouglasRachford, °c bi»t vîi λn = 1 ∀n ∈ N ta thu ÷ñc ph÷ìng
ph¡p t¡ch PeacemanRachford.
Sû döng ành ngh¾a to¡n tû Cayley, ta vi¸t l¤i d¢y l°p x¡c ành trong (2.20) nh÷ sau
yn+1 : = (1 −λn)yn+λn(2JγA(2JγByn −yn)−2JγByn +y −n)
= yn+ 2λn(JγA(2JγByn−yn)−JγByn) (2.21)
Trong (2.21) thay th¸ 1−λn v λn t÷ìng ùng bði αn v βn. Ta thu ÷ñc d¢y l°p x¡c ành nh÷ sau
yn+1 : = αnyn+βn(2JγA(2JγByn)−2JγByn+yn) (2.22)
= (αn+βn)yn+ 2βn(JγA(2JγByn −yn)−JγByn). (2.23) Theo k¸t qu£ cõa Combettes (2004), ta câ c¡c sai sè a, bn t÷ìng ùng vîi c¡c
to¡n tû JγA v JγB, ta thu ÷ñc ph÷ìng ph¡p t¡ch DouglasRachford suy
rëng nh÷ sau:
yn+1 := (αn+βn)yn+ 2βn(JγA(2(JγByn +bn)−yn) +an−(JγByn +bn).
K¸t qu£ ti¸p theo ch¿ ra sü hëi tö y¸u cõa ph÷ìng ph¡p l°p x¡c ành trong (2.22).
ành lþ 2.3.1. (xem [4]) Gi£ sû H l khæng gian Hilbert. X²t γ ∈ (0,∞), v
{αn}, {βn} l c¡c d¢y sè thüc trong [0,1] sao cho αn+βn 6 1 vîi måi n ≥ 1. Gi£ sû {an} v {bn} l hai d¢y c¡c ph¦n tû trong H. Gi£ sû 0 ∈ ran(A+B). X²t d¢y {yn} ∈ H vîi y1 ∈ H x¡c ành nh÷ sau
yn+1 :=αnyn+ 2βn(JγA(2(JγByn +bn)−yn) +an)
−2βn(JγByn +bn) +βnyn (2.24)
vîi måi n ≥ 1. Gi£ c¡c i·u ki»n sau thäa m¢n
(a) ∞ X n=1 αnβn = ∞; (b) ∞ X n=1 βn(||an||+||bn||) < ∞;
(c)
∞
X
n=1
(1−αn−βn) < ∞.
Khi â d¢y {yn} hëi tö y¸u tîi y ∈ H thäa m¢n JγBy ∈ (A+B)−1(0). Tø ành lþ tr¶n thu ÷ñc h» qu£ sau:
H» qu£ 2.3.2. (xem [4]) Cho H l khæng gian Hilbert thüc v C l khæng
gian con afin âng cõa H. X²t B : H → 2H l to¡n tû ìn i»u cüc ¤i.
X²t γ ∈ (0,∞) v {αn},{βn} l c¡c d¢y sè thüc trong o¤n [0,1] sao cho
αn+βn 6 1 vîi måi n ≥ 1. Gi£ sû {an},{bn} ⊂ H, 0 ∈ ran(NC +B). X²t d¢y {yn} trong H x¡c ành nh÷ sau: y1 ∈ H,
yn+1 := αnyn+ 2βn(PC(2(JγByn +bn)−yn) +an)−2βn(JγByn +bn) +βnyn
(2.25)
vîi måi n ≥ 1. Gi£ sû c¡c i·u ki»n sau thäa m¢n
(a) ∞ X n=1 αnβn = ∞; (b) ∞ X n=1 βn(||an||+||bn||) < ∞; (c) ∞ X n=1 (1−αn−βn) < ∞.
Khi â d¢y {PCyn} hëi tö y¸u tîi JγBy, trong â y l iºm b§t ëng cõa to¡n tû RNCRγB.