2 Ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann cho ¡nh x¤ khæng gi¢n
2.3.2 Ùng döng ph÷ìng ph¡p chi¸u lu¥n phi¶n John von
mann
X²t hai tªp kh¡c réng A, B ⊆ H l tªp con lçi âng cõa khæng gian
Hilbert H, v gi£ sû A∩B 6=∅. Ta câ c¡c to¡n tû chi¸u PA v PB l khæng
gi¢n, v to¡n tû T := PAPB khæng gi¢n. iºm b§t ëng cõa to¡n tû T l
ph¦n tû n¬m trong tªp A ∩ B. T÷ìng ùng vîi d¢y l°p {xn} x¡c ành bði
ph°p l°p Picard xn+1 := T xn ÷ñc gåi l ph²p chi¸u lu¥n phi¶n cõa John von Neumann.
º thu ÷ñc sü hëi tö to n cöc kh¡c, ta sû döng ph²p l°p sau
Tø cæng thùc (2.26), t÷ìng ùng ta thay 1−λn v λn bði αn v βn v c¡c sai sè an and bn t÷ìng ùng vîi c¡c to¡n tû chi¸u PA v PB. Ta thu ÷ñc ph²p l°p sau
xn+1 := αnxn+βn(PA(PBxn+bn) +an), n ≥ 1. (2.27) Tø ành lþ 2.2.1 ta thu ÷ñc k¸t qu£ sau v· sü hëi tö y¸u.
ành lþ 2.3.3. (xem [4]) Gi£ sû H l khæng gian Hilbert thüc, v c¡c tªp
con kh¡c réng A, B ⊆ H lçi âng âng thäa m¢n A ∩B 6= ∅. X²t c¡c d¢y
sè thüc {αn} v {βn} n¬m trong o¤n [0,1] sao cho αn +βn 6 1 vîi måi
n ≥ 1. V x²t c¡c d¢y ph¦n tû {an} v {bn} trong H. D¢y l°p {xn} ⊂H x¡c
ành nh÷ (2.27) vîi ph¦n tû ¦u ti¶n x1 ∈ H b§t ký. Gi£ sû c¡c i·u ki»n
sau thäa m¢n: (a) ∞ X n=1 αnβn = ∞; (b) ∞ X n=1 βn(||an||+||bn||) < ∞; (c) ∞ X n=1 (1−αn−βn) < ∞.
Khi â d¢y {xn} hëi tö y¸u v· ph¦n tû n«m trong tªp A∩B. Chùng minh. Vîi T :=PAPB. Ta vi¸t l¤i ph²p l°p (2.27) nh÷ sau
xn+1 = αnxn +βn(PA(PBxn+bn) +an)
= αnxn +βnPA(PBxn) +βn(PA(PBxn+bn)−PA(PBxn) +an) = αnxn +βnT xn+rn
vîi rn :=βn(PA(PBxn+bn)−PA(PBxn) +an). Sû döng t½nh khæng gi¢n cõa to¡n tû chi¸u, ta thu ÷ñc
||rn||6 βn(||PA(PBxn +bn)−PA(PBxn)||+||an||)
6 βn(||PBxn +bn−PBxn||+||an||) = βn(||bn||+||an||).
Tø i·u ki»n (b), ta câ
∞ X n=1 ||rn|| ≤ ∞ X n=1 βn(||an||+||bn||) <∞.
V¼ to¡n tû T khæng gi¢n, n¶n tø ành lþ 2.2.1, suy ra d¢y {xn} hëi tö y¸u
T÷ìng tü ¡p döng ành lþ 2.2.6 ta thu ÷ñc k¸t qu£ sau v· sü hëi tö m¤nh:
ành lþ 2.3.4. (xem [4]) Gi£ sû H l khæng gian Hilbert thüc, v c¡c tªp
con kh¡c réng A, B ⊆ H lçi âng âng thäa m¢n A∩B 6= ∅. X²t c¡c d¢y sè
thüc {αn}, {βn} v {δn} n¬m trong o¤n [0,1] sao cho αn+βn+δn 6 1 vîi måi n ≥ 1. V x²t c¡c d¢y ph¦n tû {an} v {bn} trong H. D¢y l°p {xn} ⊂H
x¡c ành bði
xn+1 := δnu+αnxn +βn(PA(PBxn+bn) +an), n ≥ 1, (2.28) vîi x1 ∈ H b§t ký, trong â u∈ H cho tr÷îc. Gi£ sû câ c¡c i·u ki»n sau
(a) lim n→∞δn = 0, ∞ X n=1 δn = ∞; (b) lim inf n→∞αnβn > 0; (c) ∞ X n=1 βn(||an||+||bn||) < ∞ (d) ∞ X n=1 (1−αn−βn−δn)< ∞.
K¸t luªn
Luªn v«n ¢ tr¼nh b y nhúng v§n · sau:
• Tr¼nh b y sì l÷ñc v· kh¡i ni»m v mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian
Hilbert thüc H, kh¡i ni»m v· ¡nh x¤ ìn i»u, li¶n töc Lipschitz, ¡nh
x¤ khæng gi¢n v mët sè t½nh ch§t. Giîi thi»u b i to¡n iºm b§t ëng v n¶u mët sè ph÷ìng ph¡p cê iºn x§p x¿ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n.
• Tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p KrasnoselskiiMann x§p x¿ iºm b§t ëng cho
¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert.
• Tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p KrasnoselskiiMann suy rëng x§p x¿ iºm b§t
ëng cho ¡nh x¤ khæng gi¢n còng ành lþ hëi tö y¸u v ành lþ hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p èi vîi b£n sao inexcat KrasnoselskiiMann v mët sè ùng döng.
T i li»u tham kh£o Ti¸ng Vi»t
[1] é V«n L÷u (2000), Gi£i t½ch lçi, NXB ¤i håc Quèc gia H Nëi. [2] Ho ng Töy (2003), H m thüc v Gi£i t½ch h m, NXB Khoa håc Kÿ
thuªt.
Ti¸ng Anh
[3] Agarwal R.P., O'Regan D., Sahu D.R. (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.
[4] Kanzow C., Shehu Y. (2017), Generalized KrasnoselskiiMann-type it- erations for nonexpansive mappings in Hilbert spaces, Comput. Optim. Appl., 67, pp. 595620.
[5] Kazmi K.R., Rehan A., Mohd F. (2018), KrasnoselskiMann type iter- ative method for hierarchical fixed point problem and split mixed equi- librium problem, Numer. Algorithms, 77(1), pp. 289308.
[6] Moudafi A. (2007), KrasnoselskiMann iteration for hierarchical fixed- point problems, Inverse Probl. 23, pp. 16351640.
[7] Qiao-Li Dong , KazmiK. R., Rehan Ali, Xiao-Huan Li (2019), Inertial Krasnosel'skii -Mann type hybrid algorithms for solving hierarchical fixed point problems, J. Fixed Point Theory Appl., https://doi.org/10.1007/s11784-019-0699-6.
[8] Yekini S. (2018), Convergence rate analysis of inertial Krasnosel- skiiMann type iteration with applications, Numerical Functional Anal- ysis and Optimization, 39(10), pp. 1077-1091.
[9] Zeidler E. (1985), Nonlinear Functional Analysis and Its Applications III. Variational Methods and Applications, Springer-Verlag, New York.