Định nghĩa 2.2.1. Cho R là vành Noether địa phương, M là R là R-môđun hữu hạn sinh,M được gọi làmôđun Cohen-Macaulay (hay đơn giản là môđun CM) nếu
depthM = dimM hoặc M = 0. Nếu R là R-môđun CM thì ta nói R là một vành CM địa phương.
Một cách tổng quát, với R là vành Noether bất kì, M làR-môđun CM nếu Mm
là môđun CM trên vành địa phươngRm với mọi iđêan cực đạim∈Supp(M). Tương tự trường hợp vành địa phương, R là vành CM nếu nó là một R-môđun CM.
Ví dụ 2.2.2. (i) Với R = k[X, Y] là vành đa thức hai biến trên trường k và
m= (X, Y) là iđêan cực đại của R, Rm là vành địa phương chiều 2. Khi đó vì X, Y
làR-dãy nên ảnh của X, Y trong Rm cũng là Rm-dãy. Do đó dimRm = depthRm hay
Rm là vành CM địa phương.
(ii) VànhR =k[[X1, ..., Xn]] các chuỗi lũy thừa hình thức trên trường k là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất là(X1, ..., Xn). Ta có dimR= depthR=n do đó
R là vành CM địa phương.
(iii) R =k[[X, Y]]/(XY, Y2) là vành địa phương chiều 1. Nhưng mọi phần tử trong
(X, Y) đều bị triệt tiêu bởi Y, nghĩa là depthR= 0 nên R không là vành CM. (iv) Vành Noether chiều không là vành CM. Chẳng hạn, với mỗi 1 < n ∈ N thì
Z/nZ là vành CM.
(v) Miền nguyên chiều 1 là vành CM vì mọi phần tử khác không là chính quy. Chẳng hạn, Z, k[X] là vành CM.
Định lý 2.2.3. Cho (R,m) là vành Noether địa phương và M làR-môđun hữu hạn sinh. Khi đó
(i) Nếu M là một môđun CM thì với mọi p ∈ Ass(M) ta có dim(R/p) = dimM = depthM. Do đó mọi iđêan nguyên tố liên kết của M đều là tối tiểu trong Ass(M).
(ii) Nếu x1, ..., xr ∈ m là một M-dãy và ta đặt M = M/(x1, ..., xr)M thì M là một môđun CM khi và chỉ khi M là một môđun CM.
(iii) Nếu M là một môđun CM thì Mp là một môđun CM trên Rp với mọi p ∈ Spec(R). Hơn nữa nếu Mp 6= 0 thì
depth(p, M) = depthRpMp.
Chứng minh. (i) Ta có dim(R/p) ≤ dimM và dim(R/p) ≥ depthM. Lại có M là môđun CM nên dimM = depthM. Do đó dimA/p= dimM = depthM.
(ii) Theo Định lý 2.1.13 ta có dimM = dimM −r, mà depthM = depthM −r nên nếuM là CM tức là dimM = depthM thì M cũng là CM.
(iii) Ta chỉ cần chứng minh với trường hợp p ∈ Supp(M) tức là Mp 6= 0. Trước hết, theo Mệnh đề 2.1.25,(i) ta có depth(p, M)≤ depthMp và theo Mệnh đề 2.1.26 thì depthMp ≤ dimMp. Bây giờ ta chứng minh depth(p, M) = dimMp bằng quy nạp theo depth(p, M). Với depth(p, M) = 0, p ⊆ q ∈ Ass(M) mà p ∈ Supp(M) và
q∈ min Supp(M) nên p =q do đó dimMp = 0. Với depth(p, M) > 0, khi đó tồn tại
a∈p là M−chính quy và cũng là Mp−chính quy. Ta có
depth(p, M/aM) = depth(p, M)−1 và dimMp/aMp= dimMp−1.
Mà theo giả thiết quy nạp thìdepth(p, M/aM) = dimMp/aMp. Do đó depth(p, M) = dimMp.
Định lý 2.2.4. Cho (R,m) là một vành Noether địa phương và M 6= 0 là R-môđun CM. Khi đó
(i) depth(I, M) = dimM −dimM/IM với mọi iđêan I ⊆m,
(ii) x=x1, ..., xr là M-dãy nếu và chỉ nếu dimM/xM = dimM −r,
(iii) x là một M-dãy nếu và chỉ nếu nó là một phần của một hệ tham số của M. Chứng minh. (i) Quy nạp theo depth(I, M). Với depth(I, M) = 0, khi đó tồn tại
p ∈ AssM với I ⊆ p; Theo Định lý 2.2.3,(i) dimM = dimR/p = dimM/IM hay
dimM −dimM/IM = 0. Với depth(I, M) >0, chọn x ∈ I là M-chính quy. Khi đó,
depth(I, M/xM) = depth(I, M)−1, theo giả thiết quy nạp thì
Mà M và M/xM là R-môđun Cohen-Macaulay nên dimM/xM = dimM−1 nên ta có điều phải chứng minh.
(ii) Điều kiện cần là hiển nhiên. Ta chứng minh điều kiện đủ. Từ (i) suy ra
depth((x), M) =n, do đó x là M−dãy.
(iii) Từ (ii) ta có dimM/(x)M = dimM − r. Gọi xr+1, ..., xr+s là hệ tham số của M0 = M/xM tức là dimM = r + s và `(M0/(xr+1, ..., xr+s)M0) < ∞. Mà
M0/(xr+1, ..., xr+s)M0 ∼= M/(x
1, ..., xr+s)M. Do đó x1, ..., xr+s là hệ tham số của M. Hay x là một phần của hệ tham số của M.
⇐) Theo ([9], Th.14.1) và (ii) ta có ngay điều phải chứng minh.