Vành và môđun Cohen-Macaulay

Định nghĩa 2.2.1. Cho R là vành Noether địa phương, M là R là R-môđun hữu hạn sinh,M được gọi làmôđun Cohen-Macaulay (hay đơn giản là môđun CM) nếu

depthM = dimM hoặc M = 0. Nếu R là R-môđun CM thì ta nói R là một vành CM địa phương.

Một cách tổng quát, với R là vành Noether bất kì, M làR-môđun CM nếu M_m

là môđun CM trên vành địa phươngR_m với mọi iđêan cực đạim∈Supp(M). Tương tự trường hợp vành địa phương, R là vành CM nếu nó là một R-môđun CM.

Ví dụ 2.2.2. (i) Với R = k[X, Y] là vành đa thức hai biến trên trường k và

m= (X, Y) là iđêan cực đại của R, R_m là vành địa phương chiều 2. Khi đó vì X, Y

làR-dãy nên ảnh của X, Y trong R_m cũng là R_m-dãy. Do đó dimR_m = depthR_m hay

R_m là vành CM địa phương.

(ii) VànhR =k[[X1, ..., Xn]] các chuỗi lũy thừa hình thức trên trường k là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất là(X1, ..., Xn). Ta có dimR= depthR=n do đó

R là vành CM địa phương.

(iii) R =k[[X, Y]]/(XY, Y²) là vành địa phương chiều 1. Nhưng mọi phần tử trong

(X, Y) đều bị triệt tiêu bởi Y, nghĩa là depthR= 0 nên R không là vành CM. (iv) Vành Noether chiều không là vành CM. Chẳng hạn, với mỗi 1 < n ∈ _N thì

Z^/nZ là vành CM.

(v) Miền nguyên chiều 1 là vành CM vì mọi phần tử khác không là chính quy. Chẳng hạn, _Z, k[X] là vành CM.

Định lý 2.2.3. Cho (R,m) là vành Noether địa phương và M làR-môđun hữu hạn sinh. Khi đó

(i) Nếu M là một môđun CM thì với mọi p ∈ Ass(M) ta có dim(R/p) = dimM = depthM. Do đó mọi iđêan nguyên tố liên kết của M đều là tối tiểu trong Ass(M).

(ii) Nếu x₁, ..., x_r ∈ m là một M-dãy và ta đặt M = M/(x₁, ..., x_r)M thì M là một môđun CM khi và chỉ khi M là một môđun CM.

(iii) Nếu M là một môđun CM thì Mp là một môđun CM trên Rp với mọi p ∈ Spec(R). Hơn nữa nếu Mp 6= 0 thì

depth(p, M) = depth_RpMp.

Chứng minh. (i) Ta có dim(R/p) ≤ dimM và dim(R/p) ≥ depthM. Lại có M là môđun CM nên dimM = depthM. Do đó dimA/p= dimM = depthM.

(ii) Theo Định lý 2.1.13 ta có dimM = dimM −r, mà depthM = depthM −r nên nếuM là CM tức là dimM = depthM thì M cũng là CM.

(iii) Ta chỉ cần chứng minh với trường hợp p ∈ Supp(M) tức là M_p 6= 0. Trước hết, theo Mệnh đề 2.1.25,(i) ta có depth(p, M)≤ depthM_p và theo Mệnh đề 2.1.26 thì depthM_p ≤ dimM_p. Bây giờ ta chứng minh depth(p, M) = dimM_p bằng quy nạp theo depth(p, M). Với depth(p, M) = 0, p ⊆ q ∈ Ass(M) mà p ∈ Supp(M) và

q∈ min Supp(M) nên p =q do đó dimMp = 0. Với depth(p, M) > 0, khi đó tồn tại

a∈p là M−chính quy và cũng là Mp−chính quy. Ta có

depth(p, M/aM) = depth(p, M)−1 và dimMp/aMp= dimMp−1.

Mà theo giả thiết quy nạp thìdepth(p, M/aM) = dimMp/aMp. Do đó depth(p, M) = dimM_p.

Định lý 2.2.4. Cho (R,m) là một vành Noether địa phương và M 6= 0 là R-môđun CM. Khi đó

(i) depth(I, M) = dimM −dimM/IM với mọi iđêan I ⊆m,

(ii) x=x₁, ..., x_r là M-dãy nếu và chỉ nếu dimM/xM = dimM −r,

(iii) x là một M-dãy nếu và chỉ nếu nó là một phần của một hệ tham số của M. Chứng minh. (i) Quy nạp theo depth(I, M). Với depth(I, M) = 0, khi đó tồn tại

p ∈ AssM với I ⊆ p; Theo Định lý 2.2.3,(i) dimM = dimR/p = dimM/IM hay

dimM −dimM/IM = 0. Với depth(I, M) >0, chọn x ∈ I là M-chính quy. Khi đó,

depth(I, M/xM) = depth(I, M)−1, theo giả thiết quy nạp thì

Mà M và M/xM là R-môđun Cohen-Macaulay nên dimM/xM = dimM−1 nên ta có điều phải chứng minh.

(ii) Điều kiện cần là hiển nhiên. Ta chứng minh điều kiện đủ. Từ (i) suy ra

depth((x), M) =n, do đó x là M−dãy.

(iii) Từ (ii) ta có dimM/(x)M = dimM − r. Gọi x_r+1, ..., x_r+s là hệ tham số của M⁰ = M/xM tức là dimM = r + s và `(M⁰/(x_r+1, ..., x_r+s)M⁰) < ∞. Mà

M⁰/(x_r+1, ..., x_r+s)M⁰ ∼_{= M/(x}

1, ..., x_r+s)M. Do đó x₁, ..., x_r+s là hệ tham số của M. Hay x là một phần của hệ tham số của M.

⇐) Theo ([9], Th.14.1) và (ii) ta có ngay điều phải chứng minh.