Trước hết ta nhắc lại một số tính chất của độ sâu theo [3, Lema 18.1].
Mệnh đề 2.3.1. Cho R là một vành Noether giao hoán M 6= 0 là R-môđun hữu hạn sinh,P ∈Supp(M).Khi đó mọi M-dãy chính quy trongP địa phương hóa thành
MP-dãy chính quy. Như vậy với mọi iđêan I ⊆P,ta códepth(I, M)≤depth(IP, MP). Hơn nữa
(i) Nhìn chung ta có depth(I, M)<depth(IP, MP).
(ii) Với mọi iđêan I tồn tại iđêan tối đại P ∈Supp(M) thỏa mãn depth(I, M) = depth(IP, MP).
(iii) Đặc biệt nếu P là iđêan tối đại thì depth(P, M) = depth(PP, MP) Chứng minh. (i) Ta xét ví dụ sau. Giả sử k là một trường, xét vành
R=k[X, Y, Z](X,Y,Z)/(X)∩(X, Y, Z)2.
Đặt P = (X, Y). Ta có depth(P, R) = 0 vì P ⊆ (X, Y, Z) ∈ Ass(R) nhưng (X, Y) ∈/
Ass(R) nên depth(PP, RP)>0.
(ii) Giả sửx1, ..., xr làM-dãy tối đại trongI. Khi đóI chứa các ước của không của
M/(x1, ..., xr). Do đóI ⊆S
P ∈Ass(M/(x1, ..., xr), I ⊆P. Địa phương hóa tại iđêan nguyên tố Q=P hoặc địa phương hóa tại mọi iđêan nguyên tốQchứaP ta códepth(I, M) = depth(IQ, MQP).
(iii ) được suy ra từ (ii).
Định nghĩa 2.3.2. Cho R là một vành Noether giao hoán M 6= 0 là R-môđun hữu hạn sinh. Môđun M được gọi là hầu Cohen-Macaulay nếu depth(P, M) = depth(PP, MP), với mọiP ∈Supp(M). VànhRđược gọi là vànhhầu Cohen-Macaulay
nếu nó là R-môđun hầu Cohen-Macaulay trên chính nó.
Ta có mọi môđun Cohen-Macaulay là môđun hầu Cohen-Macaulay.
Bổ đề 2.3.3. Môđun M là hầu Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu với mọi
P ∈ Supp(M), với mọi dãy M-dãy chính quy tối đại x1, ..., xr trong P ta có P ∈ Ass((M/x1, ..., xr)M).
Chứng minh. Lấy P ∈Supp(M). Giả sử depth(P, M) = 0. Ta có
depth(P, RP) = 0⇔P RP ∈AssRP(MP) = 0 ⇔P ∈AssR(M).
Giả sử depth(P, M) =r≥1 và x1, ..., xr là M-dãy chính quy trong P. Khi đó
depth(P RP, MP) =r
⇔depth(P RP/(x1, ..., xr)RP, MP/(x1, ..., xr)MP) = 0
⇔P RP/(x1, ..., xP)RP ∈AssRP/(x1,...,xr)RP(MP/(x1, ..., xr)MP) ⇔P/(x1, ..., xr)∈AssR/(x1,...,xr)(M/(x1, ..., xr)M)
⇔P ∈AssR(M/(x1, ..., xr)M).
Vậy bổ đề được chứng minh.
Hệ quả 2.3.4. Giả sử M là R-môđun hầu Cohen-Macaulay, P, Q∈Supp(M), P ⊆