2 Tính hữu hạn và ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố
2.2 Tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết
Cho R = ⊕n≥0Rn là một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên vành
R0= (R,m), và lấy N =⊕n≥0Nn là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh.
Để thuận lợi trong trình bày, ta dùng Ln để kí hiệu cho R−môđunNn hoặc
R−môđun M/JnM (với M là R−môđun hữu hạn sinh và J là iđêan của R). Lưu ý rằng một định lý của M. Brodmann năm 1979 về tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết [2] (có thể xem [20, Theorem 3.1]) phát biểu rằng. Bổ đề 2.2.1. Tập AssR(Ln) là ổn định khi n đủ lớn.
Dựa vào kết quả này, trong [3, Theorem 2 và Proposition 12], M. Brodmann cũng đã chứng minh rằng số nguyên depth(I, Nn) lấy giá trị là một hằng số khi n đủ lớn. Sau đó trong [9], N.T. Cường-N.V. Hoàng-P.H. Khánh đã chứng minh tổng quát hóa kết quả thứ hai của M. Brodmann thành kết quả sau đây. Bổ đề 2.2.2. ([9, Theorem 1.1]) Cho k ≥ −1 là số nguyên. Khi đó đại lượng
depthk(I, Nn) trở thành số không phụ thuộc vào n khi n đủ lớn.
Do có tính chất ở Bổ đề 2.2.2, bây giờ ta có thể đặt rk là giá trị hằng ổn định của depthk(I, Nn) khi n đủ lớn. Khi đó, trong [9], họ cũng chứng minh được rằng tập hợp S
j≤r1AssR(HIj(Nn))∪ {m} là tập hợp ổn định khi n đủ lớn (trong đó r1 là giá trị ổn định của depth1(I, Nn) khi n đủ lớn). Sau đó, năm 2014, Cường-Hoàng trong [8, Theorem 1.2] đã chứng minh được kết quả tổng quát sau đây.
Định lý 2.2.3. (Định lý 2) Cho (R,m) là vành địa phương Noether và I là iđêan của R. Lấy R =⊕n≥0Rn là là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên
R0=R và N =⊕n≥0Nn làR-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Với mỗi số nguyên
k ≥ −1, lấy r là giá trị ổn định của depthk(I, Nn). Khi đó với mỗi số nguyên
l ≤r ta luôn có tập hợp S
j≤lAssR(HIj(Nn))≥k là ổn định khi n đủ lớn.
Để chứng minh định lý trên ta cần thiết lập bổ đề sau.
khi n đủ lớn. Giả sử rằng 1≤ r < ∞. Khi đó tồn tại một dãy x1, . . . , xr trong iđêan I mà nó là một Nn-dãy từ chiều > k với mọi n đủ lớn.
Chứng minh. Lấy r ≥1 là giá trị ổn định của depthk(I, Nn). Theo Bổ đề 2.2.1 ta có thể chọn x1 ∈I sao cho x1∈/ p với mọi p∈AssR(Nn)>k và mọi n lớn. Khi đó depthk(I, Nn/x1Nn) = r−1 với mọi n lớn. Theo giả thiết quy nạp, tồn tại một dãy x2, . . . , xn ∈I là một Nn/x1Nn-dãy từ chiều > k với mọi n lớn. Vì vậy
x1, . . . , xr là dãy thỏa mãn như yêu cầu của bổ đề.
Chú ý 2.2.5. Ta cũng cần nhắc lại rằng: dãy x1, . . . , xr là một N-dãy từ chiều
> −1 nếu và chỉ nếu nó là N−dãy chính quy và x1, . . . , xr là một N-dãy từ chiều > 0 nếu và chỉ nếu nó là một dãy lọc chính quy của N (định nghĩa bởi N. T. Cường, N. V. Trung, và P. Schenzel trong [11]). Hơn nữa, x1, . . . , xr là một N-dãy từ chiều >1 nếu và chỉ nếu nó là một dãy chính quy suy rộng của
N (định nghĩa bởi L.T. Nhàn trong [22]).
Chứng minh Định lý 2.2.3. Định lý này được suy ra ngay tức khắc từ định lý sau đây khi M =R.
Định lý 2.2.6. (Cường-Hoàng [8, Theorem 4.4])Cho(R,m)là vành địa phương Noether, I là một iđêan R và M là R−môđun hữu hạn sinh. Lấy R =⊕n≥0Rn
là là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên R0 = (R,m) và N =⊕n≥0Nn là
R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Với mỗi số nguyên k ≥ −1, ta lấy r là giá trị ổn định của depthk(IM, Nn) khi n đủ lớn. Khi đó với mỗi số nguyên l ≤ r, ta thu được tập hợp S
j≤lAssR(HIj(M, Nn))≥k là hữu hạn và ổn định khi n đủ lớn. Chứng minh. Lấy r là giá trị ổn định của depthk(IM, Nn). Ta chỉ cần chứng tỏ rằng với bất kì số nguyên l≤r thì tập hợp S
j≤lAssR(HIj(M, Nn))≥k là hữu hạn và ổn định khi n lớn.
Theo Bổ đề 2.2.1 và 2.2.2, ta có thể tìm được một số nguyên t đủ lớn sao cho AssR(Nn/IMNn) là ổn định và r = depthk(IM, Nn) với mọi n ≥ t. Đặt
d = dim(Nt/IMNt). Ta xét ba trường hợp sau đây.
vì
[
j≤l
AssR(HIj(M, Nn))≥k =∅
với mọi n ≥t.
Trường hợp 2. Nếu d=k, thì r=∞. Từ đó với mọi số nguyên dương n ≥t ta có
[
j≤l
AssR(HIj(M, Nn))≥d ⊆SuppR(Nn/IMNn)≥d = AssR(Nn/IMNn)≥d,
vì tập AssR(Nn/IMNn)≥d chỉ chứa các phần tử pcực tiểu mà dim(R/p) = d. Do vậy X = [ n≥t [ j≤l AssR(HIj(M, Nn))≥d ⊆ [ n≥t AssR(Nn/IMNn),
vì thế X là tập hữu hạn theo Bổ đề 2.2.1. Như vậy ta có thể lấy t đủ lớn sao cho với mỗi p∈X thì
p∈[
j≤l
AssR(HIj(M, Nn))≥d
với vô hạn n ≥ t. Bây giờ với mỗi p ∈ X ta đặt s là giá trị ổn định của
depth((IM)p,(Nn)p), khi đó ta có thể viết s = depth((IM)p,(Nn)p) với mọi
n ≥ n(p) (trong đó n(p) là số nguyên nào đó thỏa mãn n(p) ≥ t). Suy ra
HIs(M, Nn)p 6= 0 với mọin≥n(p). Hơn nữa, theo định nghĩa của X, dẫn tới bất đẳng thức s ≤l. Do đó p là một phần tử cực tiểu của SuppR(HIs(M, Nn)), và vì thế
p∈AssR(HIs(M, Nn))≥d ⊆[
j≤l
AssR(HIj(M, Nn))≥d
với mọi n ≥n(p). Từ đó ta thấy tập hợp
[
j≤l
AssR(HIj(M, Nn))≥d
là hữu hạn và ổn định với mọi n≥max{n(p)|p∈X}.
Trường hợp 3. Giả sử rằng d > k. Khi đó r <∞. Nếu l = 0, thì ta có
là hữu hạn và ổn định với n lớn theo Bổ đề 2.2.1. Giả sử rằng 1≤l ≤r. Trong trường hợp này, theo Bổ đề 2.2.4, thì tồn tại một dãy x1, . . . , xr trong iđêanIM
mà nó là một Nn−dãy từ chiều> k với mọi n≥u (trong đó ulà số nguyên nào đó thỏa mãn u≥t). Theo Định lý 2.1.10, ta nhận được đẳng thức sau đây
[
j≤l
AssR(HIj(M, Nn))≥k =[ j≤l
AssR(Nn/(x1, . . . , xj)Nn)≥k ∩V(IM)
với mọi n≥u. Khi đó ta thu được theo Bổ đề 2.2.1 rằng tập hợp ở vế bên phải là hữu hạn và ổn định khi n đủ lớn. Và do đó tập hợp sau đây
[
j≤l
AssR(HIj(M, Nn))≥k
là hữu hạn và ổn định với n lớn, đó là điều phải chứng minh.
Phần còn lại của mục này ta xét các hệ quả của Định lý 2.2.6. Bằng cách thay thế k =−1,0,1 trong Định lý 2.2.6, ta nhận được kết quả sau đây đó là một mở rộng của kết quả [9, Theorem 1.2] cho các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng.
Hệ quả 2.2.7. Cho r, r0 và r1 là các giá trị ổn định của depth(IM, Nn),
f-depth(IM, Nn) và gdepth(IM, Nn), tương ứng. Khi đó các phát biểu sau đây là đúng.
(i) Tập hợp AssR HIr(M, Nn) là hữu hạn và ổn định với n lớn.
(ii) Với mỗi số nguyên l0 ≤r0 ta có tập hợp S
j≤l0AssR(HIj(M, Nn)) là hữu hạn và ổn định với n lớn.
(iii) Với mỗi số nguyên l1 ≤ r1 ta có tập hợp S
j≤l1AssR(HIj(M, Nn))∪ {m} là hữu hạn và ổn định với n lớn.
Chứng minh. (i) Vì HIj(M, Nn) = 0 với mọi j < r và mọi n lớn, do đó
[
j≤r
là hữu hạn và ổn định với n lớn (theo Định lý 2.2.6).
(ii) Kết luận của bài toán được suy ra từ Định lý 2.2.6 và đẳng thức
[
j≤l0
AssR(HIj(M, Nn))≥0 = [ j≤l0
AssR(HIj(M, Nn))
với mọi l0 ≤r0 và mọi n lớn. (iii) Với mỗi l1 ≤r1 ta có
[
j≤l1
AssR(HIj(M, Nn))≥1∪ {m}= [ j≤l1
AssR(HIj(M, Nn))∪ {m}
với mọi n lớn. Do đó kết quả được suy ra từ Định lý 2.2.6.
Chú ý rằng nếu I = pann(M) thì HIj(M, Nn) = ExtjR(M, Nn) với mọi j ≥ 0
theo Bổ đề 2.1.9. Hơn nữa, trong trường hợp này, theo lập luận tương tự phần chứng minh của Hệ quả 2.1.14, ta có IM =√
IM =I. Do đó Định lý 2.2.6 dẫn đến hệ quả sau đây ngay lập tức.
Hệ quả 2.2.8. Cho k là số nguyên với k ≥ −1 và r là giá trị ổn định của
depthk(ann(M), Nn). Khi đó với bất kì l ≤r tập hợp S
j≤lAssR(ExtjR(M, Nn))≥k
là ổn định với n lớn.
Với mỗi số nguyên j ≥0, mỗi iđêanI củaR, mỗi hệa= (a1, . . . , as)các phần tử của R, và mỗi bộ s số nguyên không âm t = (t1, . . . , ts) ∈ Ns, như ở mục trước ta đã đặt
Tj(It, Nn) = AssR(ExtjR(R/It, Nn)), Tj(at, Nn) = AssR(ExtjR(R/(at1
1, . . . , atss), Nn)).
Khi đó ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.2.9. Lấy k≥ −1 là số nguyên, I là một iđêan của R và r là giá trị ổn định của depthk(I, Nn). Lấy a1, . . . , as là một hệ các phần tử sinh của I và lấy số nguyên l ≤r. Khi đó với mọi số nguyên dương t, t1, . . . , ts, ta có các tập hợp sau đây [ j≤l Tj(It, Nn)≥k và [ j≤l Tj(at, Nn)≥k
là ổn định với n lớn. Hơn nữa, nếu r <∞ thì [ j≤l Tj(It, Nn)≥k = [ j≤l Tj(at, Nn)≥k là ổn định với mọi n lớn.
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.2.2, ta tìm một số nguyên u đủ lớn sao cho
r = depthk(I, Nn) với mọi n ≥ u. Lấy t, t1, . . . , ts là các số nguyên dương. Vì
√ It=√ I =p(at1 1, . . . , atss), nên ta có r= depthk(√ I, Nn) = depthk(It, Nn) = depthk((at1 1, . . . , atss ), Nn)
với mọi n≥u. Điều đó cùng với Hệ quả 2.2.8 dẫn đến (bằng cách đặtM =R/It
và M = R/(at1
1, . . . , atss)) rằng các tập S
j≤lTj(It, Nn)≥k và S
j≤lTj(at, Nn)≥k là ổn định với n lớn. Bây giờ ta giả sử rằng r < ∞. Khi đó, với bất kì n ≥ u, ta thu được từ Hệ quả 2.1.16 rằng S
j≤lTj(It, Nn)≥k = S
j≤lTj(at, Nn)≥k với mọi số nguyên dương t, t1, . . . , ts. Như vậy chúng là ổn định với mọi n lớn.
2.3 Tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđunđối đồng điều địa phương tại bậc d−1