2 Tính hữu hạn và ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố
2.3 Tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đố
Trong mục này ta giả thiết (R,m) là vành Noether địa phương, I, J là hai iđêan của R và M là R−môđun hữu hạn sinh. Lấy R =⊕n≥0Rn là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên R0 = (R,m) và N = ⊕n≥0Nn là R−môđun phân bậc hữu hạn sinh. Như ở mục trước để thuận tiện ta kí hiệu Ln để kí hiệu cho
R−môđun Nn hoặc R−môđun M/JnM. Theo Bổ đề 2.2.1, ta thấy dimLn lấy giá trị hằng là d khi n đủ lớn. Ta gọi d là giá trị ổn định của dimLn khi n
đủ lớn. Kết quả chính của mục này là định lý sau đây của N.V. Hoàng - P.H. Khánh trong bài báo [14].
Định lý 2.3.1. (Định lý 3)Cho Ln như đã giới thiệu ở trên. Với mỗi số nguyên không âm l, ta có tập hợp S
j≥lSuppR(HIj(Ln)) là ổn định khi n lớn. Đặc biệt, ta suy ra rằng tập AssR(HId−1(Ln))∪ {m} là ổn định với n đủ lớn, trong đó d là giá trị ổn định của dimLn.
Để chứng minh Định lý 2.3.1, ta cần một số bổ đề sau.
Bổ đề 2.3.2. Cho M, N là các R−môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của
R. Nếu SuppR(M)⊆SuppR(N) thì với bất kì số nguyên không âm l ta có
SuppR(HIl(M))⊆[
j≥l
SuppR(HIj(N)).
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp giảm dần theo l. Bổ đề là hiển nhiên đối với l > dimM theo định lý triệt tiêu Grothendieck. Giả sử rằng
l ≤ dimM và bổ đề đã đúng với l+ 1. Vì SuppR(M) ⊆SuppR(N), nên ta nhận được theo định lý của Gruson [24, Theorem 4.1] rằng tồn tại một dãy
0 =L0 ⊆L1 ⊆...⊆Lt =M (**) gồm các môđun con của M, trong đó mỗi thương Li/Li−1 là ảnh đồng cấu của tổng trực tiếp của hữu hạn phiên bản của N. Với mỗi i= 1, ..., t, từ dãy khớp
0→Li−1 →Li→Li/Li−1→0
ta có dãy khớp sau đây
HIl(Li−1)→HIl(Li)→HIl(Li/Li−1).
Do đó SuppR(HIl(Li))⊆SuppR(HIl(Li−1))∪SuppR(HIl(Li/Li−1)). Dẫn đến
SuppR(HIl(M))⊆SuppR(HIl(Lt−1))∪SuppR(HIl(Lt/Lt−1))
⊆SuppR(HIl(Lt−2))∪SuppR(HIl(Lt−1/Lt−2))∪SuppR(HIl(Lt/Lt−1))
... ⊆ [
1≤i≤t
SuppR(HIl(Li/Li−1)).
Theo tính chất của dãy (**), với mỗi i∈ {1, . . . , t} ta có dãy khớp ngắn
0→Ki →
si
M
k=1
N →Li/Li−1 →0
(trong đó Ki là R−môđun hữu hạn sinh nào đó, và si là số nguyên dương nào đó). Điều này kéo theo dãy khớp sau đây
HIl( si
M
k=1
Do đó
SuppR(HIl(Li/Li−1))⊆SuppR(HIl+1(Ki))∪SuppR(HIl(⊕si
k=1 N)) = SuppR(HIl+1(Ki))∪SuppR(HIl(N)). Chú ý rằng SuppR(Ki)⊆SuppR( ⊕si k=1 N) = SuppR(N).
Vì vậy ta nhận được theo giả thiết quy nạp rằng
SuppR(HIl+1(Ki))⊆ [ j≥l+1 SuppR(HIj(N)). Do đó SuppR(HIl(Li/Li−1))⊆[ j≥l SuppR(HIj(N)), và vì thế SuppR(HIl(M))⊆[ j≥l SuppR(HIj(N)).
Điều này kết thúc chứng minh của bổ đề. Bổ đề 2.3.3. Lấy dimN =d. Khi đó
SuppR(HId−1(N))∪ {m}= AssR(HId−1(N))∪ {m}.
Chứng minh. Rõ ràng rằng
SuppR(HId−1(N))∪ {m} ⊇AssR(HId−1(N))∪ {m}.
Theo [7, Lemma 2.6], ta suy ra tập hợp SuppR(HId−1(N)) là hữu hạn. Do đó
dim(R/p)≤1 với mọi p∈Supp(HId−1(N)) theo Ratliff [19, Theorem 31.2]. Khi đó với bất kì p ∈ Supp(HId−1(N)) ta nhận được p là phần tử cực tiểu của
Supp(HId−1(N)) hoặc p=m. Từ đó dẫn đến
SuppR(HId−1(N))⊆AssR(HId−1(N))∪ {m}.
Chứng minh Định lý 2.3.1. Theo Bổ đề 2.2.1, tồn tại số nguyên n0 sao cho
SuppR(Ln) = SuppR(Ln0)
với mọi n ≥n0. Từ đó kết hợp với Bổ đề 2.3.2 dẫn đến
[
j≥l
SuppR(HIj(Ln)) =[ j≥l
SuppR(HIj(Ln0))
với mọi n ≥n0. Do đó yêu cầu thứ nhất của định lý được chứng minh. Đối với yêu cầu thứ hai, ta nhận được từ Bổ đề 2.3.3 rằng
{m} ∪AssR(HId−1(Ln)) = {m} ∪SuppR(HId−1(Ln)) ={m} ∪ [
j≥d−1
SuppR(HIj(Ln)),
rõ ràng nó là tập ổn định khi n lớn theo yêu cầu thứ nhất. Vậy định lý được chứng minh.
Nhìn chung tập hợpAssR(HI1(M/JnM))không ổn định khinđủ lớn (xem [10, Theorem 3.3, (ii)]). Tuy nhiên, trong [10, Theorem 3.3, (i)], bằng cách áp dụng [9, Theorem 1.1], Cường-Khánh đã chứng minh được rằng tậpAssR(HI1(Nn))là ổn định khi n lớn, trong đó Nn là thành phần phân bậc thứ n của R−môđun phân bậc hữu hạn sinh N =Ln≥0Nn.
Phần cuối của mục này, ta xét thêm một số hệ quả của Định lý 2.3.1 cho
Nn. Trước hết ta nhắc lại rằng chiều đối đồng điều của M đối với I được định nghĩa bởi
cd(I, M) = sup{i∈Z|HIi(M)6= 0}.
Ta dễ thấy rằng cd(I, M) ≤ dimM. Trong [12, Theorem 1.4], T. Dibaei và S. Yassemi đã chứng minh rằng nếu M và N là các R−môđun hữu hạn sinh sao cho SuppR(M) ⊆ SuppR(N) thì cd(I, M) ≤ cd(I, N). Từ đây và Bổ đề 2.2.1, ta có bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.3.4. cd(I, Nn) lấy giá trị hằng số khi n đủ lớn.
Lấy d là giá trị ổn định của dimNn. Rõ ràng rằng AssR(HIi(Nn)) là ổn định khi n lớn, với i= 0 hoặc i > d. Theo [10, Theorem 3.3], ta có AssR(HI1(Nn)) là
ổn định khi n lớn. Chú ý rằng HId(Nn) là Artin. Điều này cùng với Bổ đề 2.3.4 dẫn đến tập AssR(HId(Nn))là ổn định khinlớn. Hơn nữa AssR(HId−1(Nn))∪ {m}
là ổn định khi n lớn theo Định lý 2.3.1. Đặc biệt, trong trường hợp R là vành có chiều nhỏ thì ta có kết quả sau đây.
Hệ quả 2.3.5. Nếu dimR ≤2 thì tập AssR(HIi(Nn)) là ổn định với mọi n lớn và mọi i.
Hệ quả 2.3.6. Nếu dimR ≤3 thì tập AssR(HIi(Nn))∪ {m} là ổn định với mọi
Kết luận
Trong luận văn này chúng tôi thu được các kết quả chính sau đây:
Trình bày lại chi tiết chứng minh của kết quả 1: Cho (R,m) là vành Noether địa phương, I là iđêan của R và N là R−môđun hữu hạn sinh. Lấy số nguyên k ≥ −1 và r = depthk(I, N). Nếu r <∞ và x1, . . . , xr là một
N−dãy từ chiều > k trong I, thì với mọi số nguyên j ≤ r ta có tập hợp
AssR(HIj(N))≥k là hữu hạn. Hơn nữa, ta có đẳng thức
[ j≤l AssR(HIj(N))≥k =[ j≤l AssR(N/(x1, . . . , xj)N)≥k∩V(I) với mọi l ≤r.
Trình bày lại chi tiết chứng minh của kết quả 2: Cho (R,m) là vành địa phương Noether và I là iđêan của R. Lấy R = ⊕n≥0Rn là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên R0 = (R,m) và N = ⊕n≥0Nn là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Với mỗi số nguyên k ≥ −1, ta lấy r là giá trị ổn định của depthk(I, Nn). Khi đó với mỗi số nguyên l ≤ r, ta có tập hợp
S
j≤lAssR(HIj(Nn))≥k là ổn định khi n đủ lớn.
Trình bày lại chi tiết chứng minh kết quả 3: Lấy Ln là R−môđun Nn
hoặc R−môđun M/JnM. Khi đó với mỗi số nguyên không âml, ta có tập
S
j≥lSuppR(HIj(Ln)) là ổn định khi n lớn. Đặc biệt, ta suy ra rằng tập
AssR(HId−1(Ln))∪ {m} là ổn định với n lớn (trong đó d là giá trị ổn định của dimLn).
Tài liệu tham khảo
[1] M. H. Bijan-Zadeh,A common generalization of local cohomology theories,
Glasgow Math. J., 21 (1980), 173-181.
[2] M. Brodmann, Asymptotic stability of AssR(M/InM), Proc. Amer. Math. Soc., 74 (1979), 16-18.
[3] M. Brodmann,The asymptotic nature of the analytic spread, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 86 (1979), 35-39.
[4] M. Brodmann and L. T. Nhan, A finiteness result for associated primes of certain Ext-modules, Comm. Algebra, 36 (2008), 1527-1536.
[5] M. Brodmann and R.Y. Sharp, “Local cohomology: an algebraic introduc- tion with geometric applications," Cambridge University Press, (1998). [6] N. T. Cuong and N. V. Hoang, Some finite properties of generalized local
cohomology modules, East-West J. Math. (2) 7 (2005), 107-115.
[7] N. T. Cuong and N. V. Hoang, On the vanishing and the finiteness of supports of generalized local cohomology modules, Manuscripta Math., (1) 126 (2008), 59-72 .
[8] N. T. Cuong and N. V. Hoang,On the finiteness and stability of certain set of associated prime ideals of local cohomology modules, Communications in Algebra 42 (2014), 1757-1768.
[9] N. T. Cuong, N.V. Hoang and P. H. Khanh, Asymptotic stability of certain sets of associated prime ideals of local cohomology modules, Comm. Algebra, 38 (2010), 4416-4429.
[10] N. T. Cuong and P. H. Khanh, Some asymptotic properties of graded module, Acta Math. Vietnamica (2) 36 (2011), 183-192.
[11] N. T. Cuong, Schenzel P., N. V. Trung (1978), "Verallgemeinerte Cohen- Macaulay moduln", Math. Nachr., 85, pp. 57-73.
[12] M. T. Dibaei and S. Yassemi, Cohomological Dimension of Complexes, Comm. Algebra, 32 (2004), 4375-4386.
[13] J. Herzog, Komplexe, Auflo¨sungen und Dualit¨at in der Lokalen Algebra, Habilitationsschrift, Universit¨at Regensburg, 1970.
[14] N. V. Hoang and P. H. Khanh, On the asymptotic stability of certain sets of prime ideals, East-West J. of Mathematics, Vol. 14, No 1(2012) pp. 20-27.
[15] C. Huneke,Problems on local cohomology, Free resolutions in commutative algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah, 1990), Res. Notes Math., 2 (1992), 93-108.
[16] M. Katzman, An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module, J. Algebra, 252 (2002), 161-166.
[17] K. Khashyarmanesh and Sh. Salarian, On the associated primes of local cohomology modules, Comm. Algebra, 27 (1999), 6191 - 6198.
[18] R. Lu¨ and Z. Tang, The f-depth of an ideal on a module, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., (7) 130 (2001), 1905-1912.
[19] H. Matsumura, "Commutative ring theory", Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1986.
[20] L. Melkersson, On asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 107 (1990), 267-271.
[21] L. Melkersson and P. Schenzel, Asymptotic prime ideals related to derived functions, Proc. Amer. Math. Soc., (4) 117 (1993), 935-938.
[22] L. T. Nhan, On generalized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules, Comm. Algebra,33(2005), 793-806.
[23] A. Singh, p−torsion elements in local cohomology modules, Math. Res. Lett., 7 (2000), 165-176.
[24] W.V. Vasconcelos, Divisor theory in module categories, in: North-Holland Mathematics Studies, Vol. 14 (1974).