2 Xấp xỉ không điểm chung của hai toán tử j-đơn điệu
2.3.3. Bài toán bất đẳng thức biến phân
Trong mục này, ta đề cập đến ứng dụng của Định lý 2.6 để tìm nghiệm chung của bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân.
Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H và cho A : C −→ H là một toán tử đơn điệu, h-liên tục. Khi đó, phần tử u ∈ C được gọi là nghiệm của bất đẳng thức biến phân tương ứng với A nếu
hy−u, Aui ≥0
đúng với mọi y ∈ C. Ta sử dụng ký hiệu V I(C, A) để chỉ tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân tương ứng với A.
Định lý 2.9. Cho H là một không gian Hilbert và cho h: H −→ (−∞,∞] là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới. ChoC là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H và cho A : C −→ H là một toán tử đơn điệu, h-liên tục thỏa mãn S = (∂h)−10∩V I(C, A) 6=∅. Cho f : H −→ H là một ánh xạ co trên H. Nếu {αn}, {βn} và {γn} là các dãy số thực dương và thỏa mãn các điều kiện:
i) limn→∞αn = 0, P∞n=0αn =∞;
ii) P∞n=0|αn+1−αn| <∞ hoặc limn→0αn+1/αn = 1;
iii) βn ≥ r >0, γn ≥ r >0 với mọi n, P∞n=0|βn+1−βn|< ∞ và P∞n=0|γn+1−
γn| <∞, thì dãy {xn} xác định bởi x0 ∈H và yn =argminx∈H h(x) + 1 2βnkxn−xk2 , n= 0,1,2, ... (2.57) zn = V I(C, γnA+I −yn), n= 0,1,2, ... (2.58) xn+1 =αnf(yn) + (1−αn)zn, n= 0,1,2, ... (2.59)
hội tụ mạnh về x∗ ∈ S thỏa mãn PSf(x∗) =x∗, trong đó PS : H −→S là phép chiếu mêtric từ H lên S.
Chứng minh. Ta xác định ánh xạ T ⊂H ×H bởi T x= Ax+NC(x), x∈C ∅, x /∈C.
Rockafellar [23] đã chỉ raT là một toán tử đơn điệu cực đại vàT−10 =V I(C, A). Ngoài ra, ta có zn =V I(C, γnA+I −yn) nếu và chỉ nếu hy−zn, γnAzn+zn −yni ≥0 với mọi y ∈C, tức là −γnAzn −zn +yn ∈ γnNC(zn). Suy ra zn = JγTnyn. Từ Định lý 2.6 và chứng minh của Định lý 2.7, ta thu được điều phải chứng minh.
Từ Định lý 2.6 và chứng minh tương tự như Định lý 2.9, ta có định lý sau:
Định lý 2.10. Cho Ci, i = 1,2 là hai tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert H và cho Ai : Ci −→ H, i = 1,2 là hai toán tử đơn điệu, h-liên tục thỏa mãn S =V I(C1, A1)∩V I(C2, A2) 6=∅. Cho f : H −→ H là một ánh xạ co trên H. Nếu {αn}, {βn} và {γn} là các dãy số thực dương thỏa mãn các điều kiện:
i) limn→∞αn = 0, P∞n=0αn =∞;
ii) P∞n=0|αn+1−αn| <∞ hoặc limn→0αn+1/αn = 1;
iii) βn ≥ r >0, γn ≥ r >0 với mọi n, P∞n=0|βn+1−βn|< ∞ và P∞n=0|γn+1−
γn| <∞,
thì dãy {xn} xác định bởi x0 ∈H và
yn =V I(C1, βnA1 +I −xn), n= 0,1,2, ... (2.60) zn =V I(C2, γnA2+I −yn), n= 0,1,2, ... (2.61) xn+1 =αnf(yn) + (1−αn)zn, n= 1,2, ... (2.62)
hội tụ mạnh về x∗ ∈ S thỏa mãn PSf(x∗) =x∗, trong đó PS : H −→S là phép chiếu mêtric từ H lên S.
Ta có hệ quả dưới đây:
Hệ quả 2.6. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H và cho
A : C −→ H là một toán tử đơn điệu và h-liên tục thỏa mãn V I(C, A) 6= ∅. Cho f : H −→ H là một ánh xạ co trên H. Nếu {αn}, {βn} là các dãy số thực dương thỏa mãn các điều kiện:
i) limn→∞αn = 0, P∞n=0αn =∞;
ii) P∞n=0|αn+1−αn| <∞ hoặc limn→0αn+1/αn = 1;
iii) βn ≥ r >0 với mọi n và P∞n=0|βn+1−βn|<∞ ,
thì dãy {xn} xác định bởi x0 ∈H và
yn =V I(C, βnA+I −xn), n= 0,1,2, ... (2.63) xn+1 = αnf(xn) + (1−αn)yn, n= 0,1,2, ... (2.64)
hội tụ mạnh về x∗ ∈V I(C, A) thỏa mãn PV I(C,A)f(x∗) =x∗.