2 Xấp xỉ không điểm chung của hai toán tử j-đơn điệu
2.3.4. Bài toán cân bằng
Trong mục này, luận văn giới thiệu một ứng dụng cho việc giải bài toán cân bằng. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H. Cho F là một song hàm từ C ×C vào R. Bài toán cân bằng được phát biểu như sau:
Tìm x∈ C sao cho F(x, y) ≥0,∀y ∈ C. (2.65)
Để nghiên cứu bài toán (2.65), ta cần đặt một số giả thiết dưới đây lên song hàm F:
(A1) F(x, x) = 0 với mọi x∈C;
(A2) F đơn điệu, tức là F(x, y) +F(y, x)≤ 0 với mọi x, y ∈C;
(A3) với mỗi x, y, z ∈ C, ta có limt↓0F(tz+ (1−t)x, y) ≤F(x, y);
(A4) với mỗi x ∈C cố định, hàm y 7−→F(x, y) là lồi và nửa liên tục dưới.
Ta cần bổ đề sau:
Bổ đề 2.1. [25] Cho F là một song hàm từ C ×C vào R thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4) và cho AF là một ánh xạ đa trị từ H vào chính nó và được xác định bởi AFx= {z ∈H : F(x, y)≥ hy−x, zi, ∀y ∈ C}, x ∈C ∅, x /∈C.
Khi đó, AF là một toán tử đơn điệu cực đại thỏa mãn D(AF) ⊂ C,
EP(F) = A−F10, trong đó EP(F) là tập nghiệm của (2.65) và toán tử giải
Tr = (I +rAF)−1 được xác định bởi
Trx={z ∈ C : F(z, y) + 1
rhy −z, z−xi ≥0, ∀y ∈C}, ∀x∈ H. Từ Bổ đề 2.1 và Định lý 2.6, ta có định lý dưới đây:
Định lý 2.11. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H. Cho Fi :
C×C −→ R, i = 1,2 là hai song hàm thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4) sao cho S = EP(F1)∩EP(F2) 6= ∅. Cho f : H −→ H là một ánh xạ co trên H. Nếu {αn}, {βn} và {γn} là các dãy số thực dương thỏa mãn
i) limn→∞αn = 0, P∞n=0αn =∞;
ii) P∞n=0|αn+1−αn| <∞ hoặc limn→0αn+1/αn = 1;
iii) βn ≥ r >0, γn ≥ r >0 với mọi n, P∞n=0|βn+1−βn|< ∞ và P∞n=0|γn+1−
γn| <∞,
thì dãy {xn} xác định bởi x0 ∈H và
yn =Tβnxn, n= 0,1,2, ... (2.66) xn+1 =αnf(yn) + (1−αn)Tγnyn, n= 0,1,2, ... (2.67)
hội tụ mạnh về x∗ ∈ S thỏa mãn PSf(x∗) =x∗, trong đó PS : H −→S là phép chiếu mêtric từ H lên S.