Ta xét bài toán xấp xỉ hữu hạn chiều:
Ahn(xnα τ) +α(xnα τ−xn∗) = fδn (2.13) với Ahn =Pn∗AhPn, xn∗=Pnx∗ và fδn=Pnfδ. Ta thấyAhn là toán tử đơn điệu và liên tục, đồng thời phương trình (2.13) có duy nhất nghiệm xnα τ với mỗi α >0 vàτ = (h,δ)>0. Đồng thời dãy nghiệmxnα τ hội tụ tớixτ
α-nghiệm của (2.2) khi
n→∞.
Định lý 2.2.1. Vớiα >0tùy ý và fδ ∈H, dãy{xnα τ}hội tụ đếnxτ
α-nghiệm của
Chứng minh. Thật vậy, chox∈H là một phần tử tùy ý; f =Ah(x)và
Ah(xα) +α(xα−x∗) = f.
Từ dãy {xnα}, trong đóxnα là nghiệm của (2.13) với fn =Pαf thay vì fn
δ, hội tụ đến xα thì:
∀ε >0 ∃n0: n>n0 kxnα−xk<ε2.
Mặt khác, vì Ah đơn điệu, nên Ah(x) = f chỉ có nghiệm x. Thêm nữa, vì {xα} hội tụ tớix khiα →0, nên
∃α1>0, ∀α : 0<α <α1, kxα−xk< ε
2. Cuối cùng ta có:
kPnx−xk ≤ kxnα−xk ≤ kxαn −xk+kxα−xk<ε.
Định lý 2.2.2. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) Ah là khả vi Fréchet trong một lân cận của điểmx0;
(ii) Tồn tại một hằng số L>0 thỏa mãn
A0h(x0)−A0h(z)≤L| kx0−zk, z∈S(x0,τ);
(iii) Tham số hiệu chỉnh được chọn α =α(n,δ,h) sao cho khiα →0,
(γhnk(I−Pn)x0k+Lk(I−Pn)x0k2)/2)/α →0
vớih →0,δ →0 vàn→∞, trong đóγhn được xác định bởi
γhn = (I−Pn)A0h∗(x0)
Khi đó, dãyxnα τ hội tụ tớix0. Chứng minh. Từ (2.13) ta có Ahn(xnα τ)−Ahn(xn0) +α(xnα τ−xn0) = fδn−Ahn(xn0) +α(xn∗−x0), (2.14) ở đây xn0=Pnx0.
Tác động 2 vế của đẳng thức trên với xnα τ−xn0, ta thu được
αkxnα τ−xn0k2≤(c2h+δ+kPnAh(x0)−PnAhn(xn0)k)kxα τn −xn0k +αhxn0−xn∗,xn0−xnα τi, c2>0. Vì Ah(Pnx0) =Ah(x0) +A0h(x0)(Pnx0−x0) +τhn với kτhnk ≤(Lk(I−Pn)x0k2)/2 ta suy ra αkxnα τ−xn0k2 ≤(c2h+δ +γhnk(I−Pn)(x0)k +Lk(I−Pn)x0k2/2) +kxnα τ−xn0k +αhxn0−xn∗,xn0−xnα τi. (2.15)
Từ đây suy ra tính bị chặn của dãy xnα τ. Không làm mất tính tổng quát, giả sử
xnα τ *x1 khiτ,α →0 vàn→∞. Từ (2.13),
Bởi vì
kAn(xnα τ)− f0nk ≤ kAn(xnα τ)−Ahn(xnα τ)k+kAhn(xnα τ)− f0nk ≤chkxnα τk+kAhn(xnα τ)− f0nk.
nên
A0n(xnα τ)→ f0. Bây giờ từ tính đơn điệu củaAn kéo theo
hAn(xn)−An(xnα τ),xn−xnα τi ≥0, ∀x∈H, xn=Pnx. Từ đây cùng tính chất của Pnta nhận được
hA(xn)−An(xα τn ),xn−xnα τi ≥0. VìAliên tục nên
hA(x)− f0,x−x1i ≥0, ∀x∈H.
Do đó, x1∈S0. Ta cũng suy ra rằng với mỗiα >0 và τ ≥0, dãy xnα τ hội tụ tới
xτ
α khin→∞và dãyxτ
α hội tụ tới x0 khiτ/α và α →0. Do đó, x1=x0. Sự hội tụ mạnh của dãy xnα τ tới x0 được suy ra từ (2.15), tính chất lồi và đóng của tập
S0.