Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert H,
nón pháp tuyến ngoài củaC tạiz ∈ C, đặt T(z) = T0(z) +NC(z) nếu z ∈ C ∅ nếu z /∈ C.
Khi đóT là toán tử đơn điệu cực đại và bài toán tìm không điểm của toán tửT quy về bài toán
Tìm z ∈ C sao cho hT0(z), u−zi ≥ 0, ∀u ∈ C (1.4) và được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu trong không gian Hilbert. Thật vậy ta có0 ∈ T(z)khi và chỉ khi
0∈ T0(z) +NC(z)
tương đương với
−T0(z) ∈ NC(z).
Theo định nghĩa nón pháp tuyến ngoài của tậpC tạiz ∈ C ta có
hT0(z), u−zi ≥ 0, ∀u ∈ C.
Như vậy bài toán tìm z ∈ C sao cho 0 ∈ T(z) tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu (1.4).
Nếu C là một nón thì bài toán trên trở thành bài toán
Tìm z ∈ C sao cho −T0(z) ∈ C0 và hT0(z), zi = 0.
Điều này chỉ ra rằng z là không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại T khi và chỉ khiz là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu. Như vậy ta có thể thay thế việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu bằng việc tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đạiT.
Trong Chương 1 chúng tôi đã nhắc lại một số vấn đề cơ bản, những kiến thức này là cơ sở cho việc trình bày chương sau. Trong chương tiếp theo chúng tôi trình bày bài toán tìm giao điểm của hai không gian con đóng và trình bày phương pháp Dykstra tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu.
Chương 2