Phương pháp Dykstra lai ghép cho hai toán tử đơn điệu
2.1 Bài toán tìm giao điểm của hai không gian con đóng và thuật toán Neumann
và thuật toán Neumann
Trước hết chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa và kí hiệu hay dùng trong chương này.
Kí hiệu 2.1. Giả sử A:H −→2H là toán tử. Thì :
domA = {x ∈ H|Ax 6= ∅},là miền hữu dụng (miền xác định) của A;
ranA = {u ∈ H| (∃x ∈ H) u ∈ Ax}, là khoảng biến thiên giao độ (miền ảnh) củaA;
zerA = {x ∈ H|0 ∈ Ax},là tập 0điểm củaA;
gra(A) = {(x, u) ∈ H ×H|u ∈ Ax},là đồ thị của A.
Ánh xạ ngược của A là toán tử A−1 : H −→ 2H với đồ thị của A−1 là
{(x, u) ∈ H ×H|u ∈ Ax}.
như sau
A∼ :H −→2H
x 7→A∼(x) = −A−1(−x).
Chú ý 2.1. Bây giờ giả sử A đơn điệu, nghĩa là, cho mỗi (x, u) và (y, v)
tronggra(A),
hx−y, u−vi ≥ 0 (2.1)
thìJA : ran(Id+A) −→ H là ánh xạ đơn trị. Hơn nữa, toán tử A là đơn điệu cực đại khi tính chất sau thỏa mãn, cho mỗi(x, u) ∈ H×H, nếu (2.1) đúng cho mỗi (y, v) ∈ gra(A), thì (x, u) ∈ gra(A). Định lí của Minty khẳng định rằngA là đơn điệu cực đại nếu và chỉ nếu ran(Id+A) = H. Trong trường hợp này, ta có
JA−1 = Id−JA và (JA−1)∼ = Id+A∼. (2.2) Cuối cùng, phần trong tương đối củaC tập con lồi trongH là
sriC = {x ∈ C| [
λ>0
λ(C −x) =span(C −x)}. (2.3)
Định nghĩa 2.1. Cho C và D là hai toán tử đơn điệu từ H đến 2H, thì
C +D được xác định như sau
(C +D)(x) =C(x) +D(x) ={x1∗ +x2∗ :x1∗ ∈ C(x), x2∗ ∈ D(x)},
là toán tử đơn điệu.
Định lí 2.1. (Thuật toán của Von Neumann, xem [5] và tài liệu trích dẫn)
Choz ∈ H, cho U và V là các không gian véctơ con đóng củaH, và đặt
Thìxn −→ PU∩Vz vàyn −→ PU∩Vz.
Kết quả này không đúng cho trường hợp khi U và V là giao hai tập đóng, lồi. Trước tiên, kết quả này đúng khi các dãy vô hạn (xn)n∈N và
(yn)n∈N trong (2.4) là hội tụ yếu, và có thể không đúng khi chúng hội tụ mạnh; thứ hai, có thể chỉ ra ví dụ đơn giản mà điểm giới hạn không là hình chiếu củaz lên U ∩V. Trong trường hợpU vàV là các nón lồi, đóng trong không gian Euclid, một cải biên của phép lặp ở (2.4), được phát biểu bằng thuật toán Dykstra dưới dạng (2.5). Kết quả này được mở rộng cho tập đóng lồi (xem [5], và tài liệu trích dẫn).
Định lí 2.2. (Thuật toán của Dykstra) Cho z ∈ H, cho U vàV là các tập con đóng, lồi củaH, sao cho U ∩V 6= ∅và đặt
x0 = z, p0 = 0, q0 = 0, và (∀n∈ N) yn = PV(xn+pn), pn+1 = xn +pn−yn, và xn+1 = PU(yn +qn), qn+1 = yn +qn −xn+1. (2.5) Thìxn −→ PU∩Vz và yn −→ PU∩Vz.