2 Ứng dụng lý thuyết các p-nhóm trong lý thuyết số
2.2 Định lý Fermat bé
Định lý 2.2.1(Fermat): Cho p là số nguyên tố và a là số nguyên không chia hết cho p. Khi đó ta có ap−1 = 1(modp).
Chứng minh. Nếu p=2 thì từ giả thiết suy ra a phải là số lẻ, vậy đồng dư thức a=1(mod 2) hiển nhiên đúng. Nếu p là số nguyên tố lẻ thì p-1 là số chẵn, do đó
(−a)p−1 = (−1)p−1ap−1(modp) = ap−1(modp). Vậy ta chỉ cần chứng minh định lý với giả thiết a là số nguyên dương không chia hết cho số nguyên tố lẻ p. Theo mệnh đề 2.1.4 ta có:
p
P
k=1
a(k,p) = 0(modp) (2.4) Với 1≤k≤p-1 ta có (k,p)=1 và (p,p)=p nên công thức (2.4) cho ta đồng dư thức sau:
(p−1)a+ap = 0(modp)⇔a(ap−1−1) = 0(modp)
Vì a không chia hết cho số nguyên tố p nên từ đồng dư thức trên ta suy ra:
ap−1−1 = 0(modp)⇔ap−1 = 1(modp)
Định lý được chứng minh.
Nhận xét: Chứng minh định lý Fermat bé ở trên đã sử dụng công thức của mệnh đề 2.1.4 ( công thức (2.4)) với m=p, đến lượt mình công thức (2.4) được chứng minh dựa trên bổ đề Burnside và tác dụng của nhóm G= (Zm,+) trên tập
M ap(G,{1,2, ...,1}). Khi m=p ta có nhóm (Zp,+) là p-nhóm.
Hệ quả 2.2.2: Nếu p là số nguyên tố thì tập Z∗p với phép nhân định nghĩa trong mục 1.2.2 là một nhóm cấp p-1.
Chứng minh. Rõ ràng lớp đồng dư 1 trong Z∗p có tính chất ii) trong định nghĩa nhóm. Nếu 1≤k≤p-1 thì theo định lý Fermat bé ta cókp−1= 1( modp)nên lớp đồng dư k trong Z∗p có nghịch đảo là lớp đồng dư kp−2 (theo ký hiệu ở mục 1.2.2). Vậy
Z∗p là một nhóm( giao hoán) cấp p-1.
Nhận xét:Từ hệ quả 2.2.2 suy ra rằng tập (Zp,+,.) với p nguyên tố là một trường hữu hạn, gồm p phần tử. Các phần tử khả đảo của (Zp,+,.) chính là nhóm Z∗p. Ta muốn chứng minh rằngZ∗p là một nhóm xyclic, vì vậy ta sẽ thiết lập một mệnh đề bổ trợ.
viết theo lối nhân, a là một phần tử của G có chu kỳ cực đại bằng n. Khi đó chu kỳ của mọi phần tử thuộc G đều là ước số của n.
Chứng minh. Lấy phần tử b bất kỳ thuộc G. Giả sử chu kỳ của b là m. Vậy m≤n. Nếu m=n hoặc m=1 ( tức là b=e) thì khẳng định đã được chứng minh. Giả sử 1 < m < n. Nếu n không chia hết cho m thì tồn tại số nguyên tố p sao cho có biểu diễn: m = pr.m0, n = ps.n0, trong đó m’ và n’ là các số nguyên dương không chia hết cho p; r, s là các số nguyên và 0≤s < r. Phần tửapscó chu kỳ n’, phần tử
bm0có chu kỳpr. Vì n’ và pr nguyên tố cùng nhau nên phần tử aps bm0 có chu kỳ là
pr.n0 > ps.n0=n, mâu thuẫn với tính cực đại của n.
Mệnh đề 2.2.4: Với mỗi số nguyên tố p nhóm nhân Z∗p là nhóm xyclic.
Chứng minh. Ta sẽ sử dụng sự kiện là phương trình đa thức bậc n≥1 với các hệ số thuộc một trường F bất kỳ không thể có quá n nghiệm trong F. Ký hiệu các phần tử của Z∗p là k với 1 ≤ k ≤ p-1. Giả sử n là chu kỳ cực đại của các phần tử thuộc Z∗p . Vì cấp của Z∗p là p-1 nên ta phải có n là ước của p-1, vậy n≤p-1 (*). Xét phương trình đa thức xn = 1(modp) trong trường F = (Zp,+, .). Phương trình này không thể có quá n nghiệm trong (Zp,+, .). Theo mệnh đề 2.2.3 chu kỳ của mọi phần tử k thuộc Z∗p đều là ước của n. Vậy kn = 1(modp) với mọi k thỏa mãn 1≤ k≤p-1. Vậy phương trình xn = 1( modp) có không ít hơn p-1 nghiệm trong
F = (Zp,+, .). Vậy p-1≤n (**). Kết hợp (*) và (**) ta suy ra n = p-1. Nghĩa là, trong Z∗p có ít nhất một phần tử có chu kỳ bằng p-1. Do đó Z∗p là nhóm xyclic.