2 Ứng dụng lý thuyết các p-nhóm trong lý thuyết số
2.3 Định lý Willson
Chứng minh. Định lý rõ ràng đúng với p =2. Giả sử p>2 là số nguyên tố. Theo mệnh đề 2.2.4 nhóm Z∗p là nhóm xyclic. Giả sử k là số nguyên thỏa mãn 1≤k ≤
p-1 và k là lớp đồng dư theo mođun p sinh ra Z∗p ( nghĩa là chu kỳ của k là p-1). Khi đó các lũy thừa của k là k, k2, ..., kp−1 là p-1 đại diện khác nhau của các lớp đồng dư trong Z∗p. Bởi vậy ta có:
k1+2+...+(p−1) = (p−1)!(modp)⇔k(p−1)p/2 = (p−1)!(modp)
Theo định lý Fermat bé, kp=k(modp). Do đó k(p−1)p/2 =k(p−1)/2(modp). Vậy ta có:
k(p−1)/2 = (p−1)!(modp) (2.5) Lại theo định lý Fermat bé ta có kp−1−1 chia hết cho p. Vì p là số nguyên tố lẻ nên từ đó suy ra (k(p−1)/2−1)(k(p−1)/2+ 1) chia hết cho p. Nhưng chu kỳ của
k là p-1 nên k(p−1)/2−1 không chia hết cho p. Do p là số nguyên tố nên từ đó suy ra k(p−1)/2+ 1 chia hết cho p, hay:
kp−21 =−1(modp) (2.6) Từ (2.5), (2.6) suy ra (p-1)! = -1(mod p)(điều phải chứng minh).
Đẳng thức (p-1)! = -1(mod p) cũng là điều kiện đủ để số nguyên dương lẻ p là số nguyên tố. Cụ thể ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.3.2: Nếu p là số nguyên dương lẻ thỏa mãn (p-1)! = -1(mod p) thì p là số nguyên tố.
Chứng minh.Giả sử trái lại rằng p là hợp số. Khi đó p phải có ước số nguyên tố lẻ nhỏ hơn p, chẳng hạn là số nguyên tố q với 2< q < p-1. Đặt p = qk, từ đẳng thức (p-1)!+1 = 0(mod p) ta suy ra có số nguyên dương n sao cho:
(p−1)! + 1 =pn=qkn⇔1 =q(kn−(p−1)!/q)
của 1. Mâu thuẫn. Vậy p phải là số nguyên tố.