3. Cấu trúc luận văn
2.4.2.2 Tính toán véctơ đặc trƣng mức patch
Véctơ đặc trƣng mức patch đƣợc tính toán dựa trên ý tƣởng của các phƣơng pháp kernel (kernel method). Từ một match kernel giữa hai patch, chúng ta có thể trích rút véctơ đặc trƣng của patch sử dụng một ánh xạ xấp xỉ đặc trƣng mức patch.
Gradient match kernel đƣợc xây dựng từ 3 kernel, đó là magnitude kernel , orientation kernel và position kernel .
(2.12)
Trong đó P và Q là các patch của hai ảnh cần đối sánh. là tọa độ điểm ảnh trên các patch P và Q . và tƣơng ứng là hƣớng gradient
Sử dụng trực tiếp hƣớng gradient trong orientation kernel thì vect đặc trƣng trích rút đƣợc ứng với match kernel sẽ không bất biến với phép xoay. Do đó chúng ta chuẩn hóa hƣớng gradient trƣớc khi sử dụng trong match kernel . Dựa trên ý tƣởng trong bộ mô tả SIFT Lowe (1999) [10] , chúng ta tính hƣớng chính của patch rồi chuẩn hóa tất cả các vect gradient theo hƣớng chính này. Ta có thể sử dụng một trong hai cách để xác định hƣớng chính của patch P. Cách thứ nhất là cách đƣợc sử dụng trong Lowe (1999) [10]. Cách thứ hai là lấy hƣớng chính là hƣớng véctơ tổng của tất cả các véctơ gradient trong patch. Khi đó, góc của các véctơ gradient tại điểm ảnh trong patch P trở thành (2.13):
(2.13)
Sau đó, theo (2.2), hƣớng gradient sau khi chuẩn hóa sẽ là:
(2.14) Cuối cùng, chúng ta xác định đƣợc gradient match kernel với hƣớng gradient sau khi chuẩn hóa nhƣ sau:
(2.15) Gradient magnitude kernel đƣợc xác định nhƣ sau (2.16):
(2.16)
Trong đó độ lớn véctơ gradient sau khi chuẩn hóa đƣợc xác định nhƣ sau (2.17):
(2.17)
Trong đó là hằng số, là độ lớn của véctơ gradient tại điểm ảnh . Ta thấy rằng gradient magnitude kernel là một kernel xác định dƣơng. Cả hai kernel, orientation kernel và position kernel đều là Gaussiankernel có dạng:
(2.18)
Hệ số γ sẽ đƣợc xác định riêng cho từng kernel ko và kp, đƣợc ký hiệu là
γo và γp .
Câu hỏi đặt ra là một match kernel thì làm thế nào để tính toán véctơ đặc trƣng cho một patch? Gọi là ánh xạ đặc trƣng ứng với gradient orientation kernel và position kernel . Khi đó công thức 2.15 đƣợc viết lại nhƣ sau:
(2.19) trong đó Fgradient (P) là véctơ đặc trƣng của parth P, đƣợc xác định nhƣ sau(2.20):
(2.20)
Sau đó, xấp xỉ véctơ đặc trƣng của patch P đƣợc xây dựng nhƣ sau (2.21):
(2.21)
Với là Kronecker product, là xấp xỉ ánh xạ đặc trƣng ứng cới các kernel ko và kp .
Xấp xỉ ánh xạ dặc trƣng đƣợc tính toán dựa trên một phƣơng pháp cơ bản của KDES. Ý tƣởng cơ bản của việc biểu diễn dựa trên kernel method là tính toán xấp xỉ ánh xạ đặc trƣng ứng với hàm kernel match, nhƣ hình (2.5):
Nói cách khác, các hàm kernel match đƣợc xấp xỉ dựa trên các ánh xạ
Hình 2.5: Ý tưởng cơ bản của việc biểu diễn dựa trên kernel method
đặc trƣng đƣợc tính toán tƣờng minh. Điều này cho phép áp dụng các phƣơng pháp học hiệu quả dành cho các kernel tuyến tính trên các kernel phi tuyến. Hƣớng tiếp cận này đƣợc giới thiệu trong [4] [5] [11] [12] [16].
Một trong những phƣơng pháp tính toán xấp xỉ đặc trƣng đƣợc trình bày trong [4]. Cho một hàm match kernel k(x,y), ánh xạ đặc trƣng ứng với kernel k(x,y) là một hàm thực hiện ánh xạ x vào không gian một véctơ:
Giả sử ta có hệ véctơ cơ sở, khi đó xấp xỉ của véctơ đặc trƣng là trong đó đƣợc xác định nhƣ sau (2.23):
(2.23)
trong đó là ma trận biến đổi, là biểu diễn của trên hệ véctơ cơ sở B.(2.23) là một bài toán quy hoạch toàn phƣơng lồi. Nghiệm giải tích của (2.23) là (2,24):
( 2.24) Xấp xỉ ánh xạ đặc trƣng là (2.25), [4]:
(2.25) trong đó G đƣợc xác định bởi công thức(2.26):
(2.26)
trong đó KBB là ma trận D x D với {KBB}ij = k(vi,vj).kB là một véctơ D x 1 với
{kB}i = k(x,vi).
Với một tập đặc trƣng X= {x1,….,xp}, xấp xỉ ánh xạ đặc trƣng trên X
đƣợc xác định nhƣ sau (2.27):
(2.27)
Để tính toán xấp xiranhs xạ đặc trƣng, ta cần hệ véctơ cơ sở . Hệ véctơ cơ sở B thu đƣợc bằng cách học trên một training pool của các đặc trƣng F, {x1,…,xF}, bằng cách sử dụng CKSVD (constrained kernel singular value decomposition, [4]).
Để tính toán xấp xỉ đặc trƣng trong công thức 2.21 từ các match kernel, hệ véctơ tối thiểu cần đƣợc sinh ra bằng việc học. Hệ véctơ cơ sở tối thiểu phải đƣớc học từ hệ véctơ cơ sở đầy đủ sử dụng KPCA (kernel principal component analysis). Trong đó, hệ véctơ cơ sở đầy đủ thu đƣợc bằng cách lấy mẫu đều và dày từ các vùng ảnh sử dụng một lƣới sao cho hệ các véctơ cơ sở thu đƣợc giúp xấp xỉ một cách chính xác các match kernel. Chúng ta sử dụng hệ véctơ cơ sở và các tham số của các match kernel đã đƣợc học từ một tập con của cơ sở dữ liệu ảnh Imagenet đã đƣợc trình bày tại [5].
Gọi tập do véctơ cơ sở đã học đƣợc là và tập dp véctơ cơ sở là ứng với các kernel ko và kp. trong đó xi là các véctơ gradient đã đƣợc lấy mẫu và dã đƣợc chuẩn hóa và yi
là các tọa độ trong patch 2D đã đƣợc chuẩn hóa.
Kronecker product làm cho véctơ đặc trƣng có số chiều lớn. để giảm số chiều của , ta áp dụng KPCA lên tập véctơ cơ sở đã đƣợc
nối lại . Gọi thành phần thứ t học đƣợc thông qua KPCA là , ta áp dụng theo[5], gradient kernel descriptor kết quả ứng với match kernel trong (2.12) có dạng (2.28):
(2.28)