II. CHỮA BÀI TẬP
6. Hàm số y=f(x) được cho dưới dạng bảng Tính vector hệ số của đa thức nội suy bậc 5 bằng cách sử dụng ma trận Vandermonde
65Nếu (h) là công thức sai số của phương pháp số nào đó thì ta nói phương pháp đó có
Nếu (h) là công thức sai số của phương pháp số nào đó thì ta nói phương pháp đó có
độ chính xác cấp p. Nói chung, nếu p ≥ 2 ta gọi đó là phương pháp có độ chính xác cao.
Trong các phương pháp tích phân số đã nêu ở trên, một điều khá rõ ràng số các đoạn chia càng lớn thì tích phân số càng chính xác. Có một điều người ta thường quan tâm là: Tốc độ tiến tới 0 của sai số là bao nhiêu so với độ dài bước chia h ?
Xét tích phân số theo công thức hình thang với bước đi h. Khi khai triển theo công
thức Taylor hàm f(x) tại xi trong mỗi đoạn con [xi-1, xi] đến đạo hàm bậc nhất ta được
công thức sai số: 0 2 1 2 1 ( ) ... ( ) 2 b n h n a y y E h II f x dx h y y y O h
Như vậy sai số của công thức hình thang là vô cùng bé bậc hai đối với h. Cho nên
phương pháp hình thang được gọi là phương pháp có độ chính xác cấp hai. Tương tự, phương pháp Simpson có độ chính xác cấp bốn.
Nếu sử dụng công thức Euler-MacLaurin người ta chứng minh được rằng:
2 O 4
h
I I Ch h ,
trong đó hằng số C chỉ phụ thuộc hàm số f(x) mà không phụ thuộc vào h. Vì vậy, nếu thay
h bởi h/2 vào công thức trên ta có: 2 4 h / 2
I h
4
h
I C O .
Do đó ta cũng có thể viết: 3I = 4Ih/2 –Ih +O(h4)
hay 4 h /2 h 1 4I – I h 3 I O . (4.6) Đây chính là công thức ngoại suy Richardson để tính tích phân xác định có độ chính xác cấp 4, được xây dựng bằng tổ hợp của hai công thức hình thang có độ chính xác cấp 2.
Bằng phương pháp tương tự, trong giải tích số các nhà toán học còn đưa ra một số công thức ngoại suy khác, bằng cách tổ hợp các công thức có cấp chính xác thấp thành công thức có cấp chính xác cao hơn.