Tương tự, v = 2abc(c+a); w = 2abc(a+b). Đó là điểm P ≡ (b+c:c+a :a+b),
được gọi làtâm Spieker. Nó là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác trung điểm
D1E1F1 với D1, E1, F1 là trung điểm của BC, CA, AB. Vì với (u:v :w) = (b+c:c+a:a+b), ta có
(u+v+w)(p2u+ (p−c)2v+ (p−b)2w)−(a2vw+b2wu+c2uv)
= (a+b+c)(2abc+Xa3+Xa2(b+c)−(a+b+c)(abc+Xa3) = (a+b+c)(abc+Xa2(b+c)),
nên bình phương bán kính của các đường tròn trực giao là
abc+Pa2(b+c)
a+b+c =·= 1 4 r
2+p2.
Phương trình của đường tròn đẳng phương có thể viết dưới dạng
X
(p−b)(p−c)x2+apyz = 0.
Điểm liên hợp đẳng giác của tâm phối cảnh Kiepert K(θ) là điểm
K∗(θ) = a2(σA+σθ) :b2(σB +σθ) :c2(σC +σθ
nằm trên đường thẳng nối tâm ngoại tiếp O và điểm đối trung L. Đường thẳng
(OL) được gọi là trục Brocard. Trục Brocard có phương trình
X
b2c2(b2−c2)x= 0. (2.3)
Đường tròn nhận đoạn thẳng OL làm đường kính gọi là đường tròn Brocard. Đường tròn này có phương trình
(a2+b2+c2)(a2yz+b2xz+c2xy)
−(x+y+z)(b2c2x+c2a2y+a2b2z) = 0. (2.4)
Rõ ràng từ
K∗(θ) = (a2σA :b2σB :c2σC) +σθ(a2:b2 :c2)
K∗(−θ) = (a2σA :b2σB :c2σC)−σθ(a2:b2:c2).
suy ra K∗(θ) và K∗(−θ) chia điều hòa hai điểm O và L. Chính vì thế chúng là
nghịch đảo của nhau qua đường tròn Brocard.
2.2. Đường tròn Lucas với các tâm tam giác
Xét hình vuông P QRS nội tiếp 4ABC với Q, R ∈ BC, Hình 2.10. Vì hình
vuông này có thể nhận được từ hình vuông cạnh BC, dựng ra ngoài tam giác
ABC qua phép vị tự h
A, σ a2+σ
nên đường tròn Lucas Ca đi qua A, P, S là ảnh của (O, R) qua phép vị tự trên. Tương tự, các đường tròn Lucas Cb, Cc là ảnh vị tự của (O, R) qua các phép vị tự tâm B, C và tỷ số vị tự σ
b2+σ, σ
c2+σ, tương ứng. Theo tính chất của phép vị tự, phương trình của Ca, Cb, Cc là
42