Các đường tròn Lucas của một tam giác cũng kết hợp với các hình vuông nội tiếp trong tam giác. Ta sẽ biểu diễn hai đường cô níc quan trọng liên quan đến
các hình vuông nội tiếp này. Cho tam giácABC, ta gọi hình vuông nội tiếp tam giácX1X2X3X4 có 2 đỉnhX1, X2∈BC, X3∈CA, X4 ∈AB, là A−hình vuông nội tiếp. Tương tự như vậy ta có 2 hình B−hình vuông nội tiếp và C−hình vuông
nội tiếp. Tọa độ các đỉnh của A−hình vuông nội tiếp X1X2X3X4 là
X1 = (0 :σC +σ :σB), X2= (0 : σC :σB +σ)∈BC,
X3 = a2: 0 : σ∈AC, X4= a2 :σ: 0∈AB.
Mệnh đề 3.4. Hình vuông X1X2X3X4 có tâm là a2 :σC+σ :σB +σ.
Chứng minh. Viết phương trình các đường thẳng X1X3 và X2X4:
(X1X3) :σ(σC +σ)x=a2σy−a2(σC+σ)z = 0
(X2X4) :−σ(σB +σ)x+a2(σB +σ)y−a2σCz = 0.
Giải hệ phương trình gồm hai phương trình trên thu được nghiệm
a2, σC +σ, σB +σ.
Ta có điều phải chứng minh.
Tương tự, có thể dễ dàng viết tọa độ đỉnh và tâm của các B, C−hình vuông nội tiếp. Rõ ràng tâm các hình vuông này tạo thành một tam giác phối cảnh với tam giác ABC với tâm phối cảnh Kiepert
K π 4 = 1 σA +σ : 1 σB +σ : 1 σC+σ .
Liên quan đến các đường cô níc ta có định lý Carnot về điều kiện để 6 điểm thuộc cô níc.
Mệnh đề 3.5 (Định lý Carnot, [5]). Nếu cô níc C cắt BC ở X, X0; cắt CA ở
Y, Y0; cắt AB ởZ, Z0 thì BX XC · BX 0 XC · CY Y A ·CY 0 Y0A · AZ ZB · AZ 0 Z0B = 1. (3.3)
Chứng minh. Viết phương trình cô níc dạng
60
Giao của cô níc C với BC là 2 điểm (0 :y1:z1) và (0 :y2 :z2) thỏa mãn
gy2+hz2+ 2pyz = 0. Từ đó, BX XC ·BX 0 X0C = z1z2 y1y2 = g h. Tương tự, CY Y A · CY 0 Y0A = h f, AZ ZB · AZ 0 Z0B = f g. Ta suy ra (3.5).
Hình 3.4: Các đường cô níc sinh từ các hình vuông nội tiếp
Đảo lại, kết quả cũng đúng: Nếu X, X0, Y, Y0, Z, Z0 là các điểm trên cạnh tam giác (tương ứng) thỏa mãn đẳng thức (3.5) thì 6 điểm đó thuộc cô níc. Áp
dụng kết quả trên ta có hai cô níc sinh ra từ các hình vuông nội tiếp, Hình 3.4.
Mệnh đề 3.6 ([3]). Sáu điểm X1, X2, Y1, Y2, Z1, Z2 nằm trên cô níc thứ nhất có phương trình
a2+σyz+ b2+σzx+ c2+σzx
=(x+y+z) [σA(σA+σ)x+σB(σB+σ)y+σC(σC+σ)z]. (3.4)
Mệnh đề 3.7 ([3]). Sáu điểmX3, X4, Y3, Y4, Z3, Z4 nằm trên cô níc thứ hai, có phương trình a2 a2+σyz+ b2 b2+σzx+ c2 c2+σzx = a 2b2c2σ(x+y+z) (a2+σ) (b2+σ) (c2+σ) x a2 + y b2 + z c2 . (3.5)
Chứng minh. Để chứng minh các Mệnh đề 3.6, 3.7 ta chỉ việc thay tọa độ các điểm vào các phương trình (3.4), (3.5) tương ứng.
Ý nghĩa của 2 mệnh đề trên là khẳng định sự tồn tại 2 cô níc liên quan đến
các đường tròn Lucas của tam giác.
Chương 3 đề cập đến 2 vấn đề trong nhiều vấn đề liên quan đến đường tròn Lucas. Đó là sự tồn tại đường tròn Soddy nội và ngoại của 3 đường tròn tiếp xúc
ngoài nhau và xét tới 3 họ đường tròn tiếp xúc trong 3 đường tròn cho trước. Các tính toán đều sử dụng tọa độ barycentric thu được những kết quả có ích mặc dù khá phức tạp: phát hiện ra các tâm vị tự (trong và ngoài) của các cặp
62
Kết luận
Luận văn thu được các kết quả sau
1. Trình bày chi tiết về đường tròn Lucas và các tính chất của nó, đặc biệt là các tính chất liên quan giữa đường tròn Lucas và đường tròn Apollonius của tam giác.
2. Bằng cách áp dụng tọa độ barycentric chúng tôi đã trình bày được các khái niệm xung quanh đường tròn Lucas, bổ sung các tính chất và hai khái niệm quan trọng là đường tròn đẳng phương Lucas và họ đường tròn đồng trục.
3. Trong suốt nội dung luận văn, chúng tôi đã gắn đường tròn Lucas với các tâm tam giác (theo danh sách tâm tam giác trong [4]). Các tính toán giải tích rất có giá trị để dẫn tới các kết luận hình học.
Chúng tôi nhận thấy có các hướng nghiên cứu tiếp theo:
• Đường tròn Lester, Evans,... cùng các vấn đề liên quan.
• Đường tròn Tucker, điểm và đường thẳng Tucker. Mối liên hệ với các đường tròn đặc biệt.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những hạn chế, khiếm khuyết. Tác giả rất mong sự góp ý, bổ sung của các thầy cô giáo và của các đồng
nghiệp nhằm làm cho kết quả nghiên cứu hoàn chỉnh và có ích hơn. Xin chân thành cảm ơn.
64
Tài liệu tham khảo
[1] Nikolaos Dergiades N., Salazar J., C., (2009), Some Triangle Centers As-
sociated with the Tritangent Circles, Forum Geom., Volume 9, 259–270.
[2] Hatzipolakis, A., Yiu, P.,(2001), The Lucas circles, Amer. Mathly, 108, 444-446.
[3] Moses, P., J., (2005), Circles and Triangle Centers Associated with the Lucas Circles, Forum Geom., Volume 5, 97-106.
[4] Kimberling,C.,(2000), Encyclopedia of Triangle Centers, available at http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html.
[5] Yiu, P.,(2001), Introduction to the Geometry of the Triangle, Florida At- latic University Lecture Notes.