2 Đường cong affin và xạ ảnh
3.2 Bội giao của các đường cong suy rộng
Trong tiết này ta tìm hiểu lý thuyết giao của hai đường cong suy rộng.
Định nghĩa 3.2.1. Cho hai đường cong C = {f = 0} và C0 = {g = 0}. Giả sử C, C0 không có thành phần chung. Bội giao của C và C0 tại điểm P ∈ P2 được định nghĩa bởi
IP(C, C0) = dimkOP2,P/(f, g).
Bổ đề 3.2.2. IP(C, C0) ≥ 1 khi và chỉ khi P ∈ C ∩C0.
Chứng minh. Nếu P 6∈ C ∩ C0 thì hoặc P 6∈ C và f là đơn vị trên OP2,P, hoặc P 6∈ C0 và g là đơn vị trên OP2,P. Vì vậy (f, g) = OP2,P , tức là
dimkOP2,P/(f, g) = 0.
Ngược lại, nếu P ∈ C ∩C0 thì f, g ∈ mP nên (f, g) ⊂ mP. Vì vậy,
dimkOP2,P/(f, g) ≥ dimkOP2,P/mP = 1.
Cho L ⊂ P2 đi qua điểm P và C, ta cóIP(C, L) = multP(C, L). Để thấy điều này, ta sử dụng phép biến đổi tuyến tính và giả sử P = (0 : 0 : 1) và L cho bởi x1 = 0. Khi đó, số hạng của tọa độ affine x = x0/x2 và y = x1/x2 với không gian con affine A2 của P2 trong đó đường L ∩A2 cho bởi y = 0. Ta có
IP(C, L) = dimkOP2,P/(f, x1)
= dimkOA2,0/(f(x, y,1), y) = multP(f|L).
Từ đó ta suy ra
IP(C, L) ≥2 khi và chỉ khi L ⊂TPC.
Định nghĩa 3.2.3. Đường congC và C0 là giao hoành tại điểm P ∈ C∩C0 nếu C và C0 đều là trơn tạiP và đường tiếp xúc tại P là khác nhau. Tức là
TPC ∩TPC0 = {P}.
Bổ đề 3.2.4. Hai đường cong C và C0 giao hoành tại P nếu và chỉ nếu
IP(C, C0) = 1.
Chứng minh. Giả sử P = (0 : 0 : 1) và ta làm việc trên tọa độ affine x, y. Vì P ∈ C ∩C0 ta có (f, g) ⊂ mP và do đó IP(C, C0) = 1 là tương đương với (f, g) = mP.
Vì nếu IP(C, C0) = 1 thì các thành phần tuyến tính của f và g sinh ra không gian véctơ mP/m2P . Nói riêng, chúng không phụ thuộc tuyến tính và các đường tiếp xúc của C và C0 tại P là khác nhau.
Giả sử ngược lại, C và C0 giao hoành tại P, dùng phép biến đổi tọa độ thích hợp, các thành phần tuyến tính của f và g được cho bởi fP(1) = x và gP(1) = y. Áp dụng Bổ đề 3.2.2 suy ra f và g sinh bởi iđêan mP.
Ví dụ 3.2.5. Ta trở lại với parabol C cho bởi tọa độ xạ ảnh z02z2 −z13 = 0,
hoặc trong tọa độ địa phương lân cận của P = (0 : 0 : 1) bởi x2 −y3 = 0.
Cho L1 và L2 là các đường cho bởi z0 = 0 và z1 = 0 tương ứng. Khi đó, IP(C, L1) = dimkOP2,P/(x2 −y3, x) = dimkOP2,P/(x, y3) = 3. và IP(C, L2) = dimkOP2,P/(x2 −y3, y) = dimkOP2,P/(x2, y) = 2.
Được minh họa bởi hình vẽ
Hình 3.1: Đường cong bậc 3 nhọn
Tương tự như trong chương trước, ta có định lý Bezout.
Định lý 3.2.6. (Bezout) Cho C và C0 là hai đường cong phẳng suy rộng có bậc lần lượt là d và d0, không có thành phần chung. Khi đó, giao của C và
C0 gồm dd0 điểm. Tức là,
CC0 := X
P
Mệnh đề 3.2.7. Cho C ∈ P2 là đường cong suy rộng bậc d và L là đường thẳng không chứa trong C. Khi đó, C và L giao tại d điểm (tính cả bội). Tức là,
X
P
IP(C, L) =d.
Chứng minh. ChoL = {x2 = 0}vàC = {f = 0}, trong đóf = f(x0, x1, x2)
là đa thức thuần nhất bậc d. Ta có
f|L = f(x0,1,0) = a0xd0 +a1xd0−1x1 +...+adxd1
là đa thức thuần nhất bậc d với 2 biến. Ta giả sử tọa độ được lựa chọn với
(1 : 0) ∈ L. Từ phương trình IP(C, L) = multp(f|L), số điểm giao của C và L tính cả bội, các không điểm của đa thức
f(x) = a0xd+ a1xd−1 +...+ad.
Bây giờ ta xét bài toán phân loại đường cong phẳng bậc 3. Đầu tiên, ta
nhắc lại sự phân loại của đường bậc 2 xạ ảnh. Phương trình bậc 2 được viết
dưới dạng
q(x0, x1, x2) =qA(x0, x1, x2) = xAtx
với x = (x0, x1, x2) và A = At ∈ M at(3×3,C). Khi đó ta có các trường hợp tương đương
(1) q(x0, x1, x2) = x20 +x21 +x22 (đường bậc 2 trơn) (2) q(x0, x1, x2) = x20 +x21 ( hợp hai đường thẳng) (3) q(x0, x1, x2) = x20 (đường thẳng kép)
Chú ý rằng, đường bậc haix20+x21+x22 là tương đương xạ ảnh vớix0x2−x21 = 0.
Trường hợp đường cong bậc 3 được xét tiếp theo là hợp của một đường
bậc 2 và một đường thẳng.
Mệnh đề 3.2.8. Cho C là đường cong phẳng bậc 3 là hợp của một đường bậc 2 bất khả quy (đường cong bậc 2) và một đường thẳng. Khi đó, C là tương đương xạ ảnh với một trong hai đường cong sau
(1) C1 = {(x0x2 −x21)x1 = 0}; (2) C2 = {x0x2 −x21)x0 = 0}.
Chứng minh.Giả sử C = C0 +L, trong đó C0 là một đường bậc 2 bất khả quy {q(x0, x1, x2) = 0}. Theo bảng phân loại đường bậc 2 ở trên, C0 tương đương xạ ảnh với đường bậc 2 {x0x2−x21 = 0}. Theo Định lý Bezout, đường thẳng L giao với đường bậc 2 C0 tại 2 điểm. Vì C0 là trơn nên ta có các khả năng sau có thể xảy ra
(1) L giao hoành C0 tại 2 điểm. (2) L tiếp xúc với C0 tại điểm P0.
Đường cong C0 được tham số hóa bởi
ϕ: P1k → C0 ⊂ P2k
(t0 :t1) 7→ (t02 : t0t1 : t21)
Một phép biến đổi t0 7→ at0 + bt1, t1 7→ct0 +dt1 cảm sinh ánh xạ
t20 7→ a2t20 + 2abt0t1 +b2t21,
t0t1 7→ act20 + (ad+bc)t0t1 +bdt21, t21 7→ c2t20 + 2cdt0t1 +d2t21.
Từ đó ta có ma trận a2 2ab b2 ac ad+bc bd c2 2cd d2 nó là một ánh xạ từ C0 →C0. Với một ma trận thích hợp a b c d . Trường
hợp 1, ta có ánh xạ từ các giao điểm tới các điểm (1 : 0 : 0) và (0 : 0 : 1). Trường hợp 2, ta có ánh xạ từ P0 tới điểm (0 : 0 : 1). Khi đó, đường thẳng đi qua (1 : 0 : 0) và (0 : 0 : 1) là {x1 = 0} và khi đó tiếp tuyến tới đường bậc hai C0 tại (0 : 0 : 1) là {x0 = 0}.
Hình 3.2: Đường cong phẳng bậc 3 với phân tích là một đường cong bậc hai và một đường thẳng