2 Đường cong affin và xạ ảnh
3.1 Đường cong phẳng suy rộng
Một đa thức thuần nhất khác không f ∈ k[x0, x1, x2]d với bậc d xác định một đường cong phẳng
V(f) ={(x0 : x1 : x2)|f(x0, x1, x2) = 0} ⊂ P2k.
Ta cũng gọi f là đường cong phẳng (suy rộng) bậc d .
Cho c ∈ k∗ thì đa thức f và cf định nghĩa cùng một đường cong. Giả sử f có phân tích bất khả quy
f = f1d1...fdr
r .
Khi đó ta viết C dưới dạng tổng
C = d1C1 +...+ drCr,
trong đó Ci = V(fi). Đường cong Ci được gọi là thành phần bất khả quy của C.
với thành phần bất khả quy. Ta ký hiệu
C = {f = 0}
có nghĩa là tập các đường cong Ci tính cả bội và C được gọi là đường cong phẳng bậc d.
Ta có song ánh
{Đường cong phẳng bậc d} ←→1:1 P(k[x0, x1, x2]d).
Nói riêng, tập đường cong phẳng bậcdlà không gian xạ ảnh chiều
d+ 2 2 −
1. Không gian các đường thẳng trong P2, chẳng hạn như không gian đường cong xạ ảnh bậc 1 là đối ngẫu của mặt phẳng xạ ảnh (P2)∗.
Nếu f không có nhân tử bất khả quy lặp thì một điểm P được gọi là điểm kì dị của C nếu và chỉ nếu
f(P) = 0 và ∂f ∂xi(P) = 0, i = 0,1,2. Hệ thức df = X i ∂f ∂xi, (Công thức Euler),
dẫn đến P là điểm kì dị khi và chỉ khi ∂f
∂xi(P) = 0, i = 0,1,2.
Định nghĩa 3.1.1. Với P ∈ C ta định nghĩa không gian tiếp xúc của C tại P là TPC = { 2 X i=0 ∂f ∂xi(P)xi} ⊂ P2.
Một điểm P trong C được gọi là điểm trơn của C khi và chỉ khi TPC là một đường thẳng.
Định nghĩa 3.1.2. Hai đường cong được gọi là tương đương xạ ảnh nếu qua phép biến đổi tuyến tính thì đường cong này trùng với đường cong kia.
Để phân loại các đường cong bậc 3, ta bắt đầu với trường hợp đặc biệt
sau.
Bổ đề 3.1.3. Cho C là đường cong phẳng bậc 3 có phân tích bất khả quy gồm ba đường thẳng. Khi đó, C tương đương xạ ảnh tới một trong các đường cong sau:
1) C = {x0x1x2 = 0},
2) C = {x0x1(x0 +x1) = 0},
3) C = {x20x1 = 0},
4) C = {x30 = 0}.
Chứng minh. Cho C = l1 ∪l2 ∪l3, trong đó li là các điểm của không gian đối ngẫu (P2)∗.
Ta có các trường hợp sau:
(TH1) Ba đường li là khác nhau và không cùng giao nhau tại một điểm. Khi đó các điểm l1, l2, l3 ∈ (P2)∗ không nằm trên đường thẳng. Ta sử dụng phép biến đổi trong Gl(3,C) trên (P2)∗. Rõ ràng, tọa độ của các điểm định nghĩa là hàng của một ma trận trong Gl(3,C) với các ánh xạ x0, x1, x2 tới l1, l2, l3.
(TH2) Ba đường li là khác nhau và ba đường thẳng giao nhau tại một điểm. Do đó, có một đường đi qua các điểm phân biệt li ∈ (P2)∗. Tập tất cả các điểm là tương đương dưới của (P2)∗.
(TH3) l1 = l2 6= l3. Lập luận tương tự. (TH4) l1 = l2 = l3. Lập luận tương tự.