Bằng cách xét số dư hai vế của phương trình, phương pháp đồng dư thường dùng để chứng minh phương trình không có nghiệm nguyên hoặc dùng để hạn chế các khả năng của biến. Từ đó, dễ dàng tìm được nghiệm nguyên của phương trình. Dưới đây là một vài ví dụ minh họa cho phương pháp này.
Bài toán 2.8. Chứng minh rằng phương trình
(x+ 1)2 + (x+ 2)2 +· · ·+ (x+ 2001)2 = y2
không có nghiệm nguyên.
Lời giải. Đặt x = z−1001, phương trình đã cho trở thành
(z−1000)2 +· · ·+ (z−1)2 + z2 + (z+ 1)2 +· · ·+ (z + 1000)2 = y2
hay
2001z2 + 2 12 + 22 +· · ·+ 10002= y2.
Suy ra, phương trình
2000z2 + 21000.1001.2001
6 = y
2,
tương đương với
2001z2 + 1000.1001.667 = y2.
Ta thấy vế trái ≡ 2 (mod 3) nên không thể là số chính phuơng, trong khi vế phải là một số chính phương. Vậy nên phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
Bài toán 2.9 (Russia MO, xem [4]). Xác định tất cả các cặp số nguyên tố (p, q)
thỏa mãn phương trình p3 −q5 = (p+q)2.
Lời giải. Dễ dàng kiểm tra p > q.
Nếu q = 3 thì p = 7 và ta có cặp số nguyên tố (7,3).
Nếu q > 3, và do p, q là số nguyên tố nên p ≡ 1 hay 2 (mod 3), và q ≡ 1 hay
2 (mod 3).
Nếu p≡ q (mod 3) thì vế trái chia hết cho 3, vế phải không chia hết cho 3.
Nếu p6≡ q (mod 3), thì vế phải chia hết cho 3, vế trái không chia hết cho 3.
Trong cả hai trường hợp trên, phương trình đều vô nghiệm. Vậy nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (p, q) = (7,3).
Bài toán 2.10 (Balkan MO, xem [4]). Chứng minh rằng phương trình
x5 −y2 = 4
không có nghiệm nguyên.
Lời giải. Xét vành Z11. Dễ dàng kiểm tra (x5)2 ≡ x10 ≡ 0 hay 1 (mod 11) với mọi x ∈ Z. Do vậy x5 ≡ 0 hoặc ±1 (mod 11).
Từ đây suy ra x5−4 ≡6 hoặc 7hoặc 8 (mod 11). Vì thặng dư bậc hai modulo 11 chỉ có thể là 0,1,3,4,5,9nên phương trình đã cho không thể có nghiệm nguyên.
Bài toán 2.11. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình
x3 +y3 = z6 + 3.
Lời giải. Nếu phương trình có nghiệm trong Z thì nó cũng có nghiệm trong Z7.
Khi đó tồn tại x, y, z ∈ Z7 để x3 + y3 = z6 + 3.
Trong Z7 có
03 = 0,13 = 1,23 = 1,33 = −1,43 = −1,53 = −1,63 = −1.
Vậy nên x3 hay y3 chỉ có thể là 0 hoặc 1 hoặc −1.
Bằng kiểm tra trực tiếp, ta thấy x3 + y3 chỉ có thể là 0,1,2,−1,−2. Nhưng
z6+ 3 chỉ có thể là 0 + 3 = 3 hoặc 1 + 3 = 4. Điều này chứng tỏ phương trình vô nghiệm.