Một số phương trình nghiệm nguyên f(x1;x2;. . .;xn) = 0 có vô số nghiệm và ta không thể liệt kê được hết tất cả các nghiệm đó. Khi đó, ta sẽ tìm nghiệm này dưới dạng tham số như sau:
x1 = g1(k1, k2, . . . , kl), x2 = g2(k1, k2, . . . , kl), . . . , xn = gn(k1, k2, . . . , kl),
trong đó g1, g2, . . . , gn là hàm l biến, k1, . . . , kl ∈ Z.
Điểm mạnh của phương pháp này là có thể dùng để chứng minh phương trình nghiệm nguyên có vô số nghiệm.
Sau đây ta sẽ xét một số bài toán minh họa cho phương pháp này.
Bài toán 2.16. Chứng minh rằng, có vô hạn bộ ba (x, y, z) ∈ Z3 thỏa mãn phương trình
x3 +y3 +z3 = x2 +y2 +z2.
Lời giải. Với z = −y ta có x3 = x2 + 2y2. Khi x = 0 thì y = 0. Khi x 6= 0 ta đặt y = tx, với t∈ Z. Vậy x3 = x2 + 2t2x2 hay x = 2t2 + 1, u = t 2t2 + 1.
Bài toán 2.17. Chứng minh rằng, phương trình x2 = y3 + z5 có vô số nghiệm nguyên dương (x, y, z). Lời giải. Xét y = t7(t+ 1)5, z = t4(t+ 1)3. Khi đó x2 = t21(t+ 1)15 +t20(t+ 1)15 = t20(t+ 1)16.
Giải ra, ta thu được
x = t10(t+ 1)8.
Do vậy, phương trình đã cho có nhiều vô số nghiệm nguyên dương
x = t10(t+ 1)8, y = t7(t+ 1)5, z = t4(t+ 1)3.
Bài toán 2.18. Chứng minh rằng, phương trình x2 + y2 = 13z có vô số nghiệm nguyên dương (x, y, z).
Lời giải. Vì 22 + 32 = 13 nên khi chọn x = 2.13n, y = 3.13n, ta có
13z = 132n+1.
Suy ra
z = 2n+ 1.
Do vậy, phương trình có nhiều vô số nghiệm nguyên dương
x = 2.13n, y = 3.13n, z = 2n+ 1, n ∈ N.
Bài toán 2.19. Chứng minh rằng, phương trình xn +yn = zn−1 có vô số nghiệm nguyên dương (x, y, z) khi n ≥ 3.
Lời giải. Đặt x = ty, t ∈ N. Khi đó yn(tn + 1) = zn−1.
Chọn y = (tn+ 1)n−2 ta có z = (tn+ 1)n−1 và x= t(tn+ 1)n−2.
Do vậy, phương trình có nhiều vô số nghiệm nguyên dương
x = t(tn + 1)n−2,13n, y = (tn+ 1)n−2, z = (tn+ 1)n−1, t ∈ N∗.
Bài toán 2.20. Chứng minh rằng, phương trình 2x + 1 = xy có vô số nghiệm nguyên dương (x, y).
Lời giải. Trước tiên ta chứng minh 23n + 1 chia hết cho 3n với mọi n ≥ 0. Với
n = 0, kết luận là hiển nhiên. Giả sử 23n + 1 chia hết cho 3n. Với n+ 1 ta biểu diễn
Thừa số 23n + 1 chia hết cho 3n theo giả thiết quy nạp.
Xét thừa số 22.3n−23n+ 1 = 23n+ 12−3.23n chia hết cho 3. Do vậy 23n+1+ 1 chia hết cho 3n+1. Phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên dương 3n,2
3n
+ 1
3n
với mọi số nguyên n ≥ 0.
Bài toán 2.21. Chứng minh rằng, với số nguyên n ≥ 2 phương trình xn +yn =
zn+1 có vô số nghiệm nguyên dương (x, y, z).
Lời giải. Phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên dương dạng (tn, t(tn + 1), tn+ 1) với mọi số nguyên t ≥ 1.
Bài toán 2.22. Tìm các bộ ba số nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn
1 x + 1 y = 1 z. Lời giải. Ta có z = xy x+y. Giả sử d = (x, y). Đặt x = dm, y = dn. Khi đó (m, n) = 1 và (mn, m+n) = 1. Do vậy, z = dmn
m+ n và suy ra m+ n là ước của d. Đặt t = xy
z . Ta có x = tm(m +n), y = tn(m +n), z = tmn với m, n, t ∈ N∗
và (m, n) = 1.
Nhận xét 2.3. 1. Nếu a, b, c là các số đôi một nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn điều kiện 1 a + 1 b = 1 c thì a+b là một số chính phương.
2. Nếu a, b, c là các số nguyên dương và thỏa mãn điều kiện 1
a + 1 b = 1 c thì a2 +b2 +c2 là một số chính phương. Thật vậy, a2 + b2 + c2 = k2 h m2(m+n)2 +n2(m+n)2 +m2n2 i = k2h(m+n)4 −2mn(m+n)2 +m2n2i = k2 h (m+n)2 −mn i2
Bài toán 2.23. Xác định tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn điều kiện
x3 +y3 + 21xy = 343.
Lời giải. Ta có
Suy ra
(x+y −7)h(x−y)2 + (y+ 7)2 + (x+ 7)2i= 0.
Do vậy, ta nhận được nghiệm (−7,−7) và (a,−7−a) với a ∈ Z.
Bài toán 2.24. Xác định tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn điều kiện
x3 +y3 + 6xy = 8.
Lời giải. Ta có
x3 +y3 + (−2)3 −3(−2)xy = 0.
Suy ra
(x+y −2) x2 +y2 + 22 −xy+ 2x+ 2y= 0.
Do vậy, ta nhận được nghiệm (−2,−2) và (a,2−a) với a ∈ Z.