Quy tắc phân bố củ am trong Dn

Một phần của tài liệu (LUẬN văn THẠC sĩ) một vài tính chất số học của các dãy số được xây dựng từ các dãy số của roettger (Trang 30 - 32)

Chương 2 Dãy{D n}

2.2 Quy tắc phân bố củ am trong Dn

Trong mục trên, ta đã trình bày quy tắc lặp của số nguyên tố ptrong {Dn}. Ở mục này ta quy tắc phân bố của m trong {Dn} khi m > 1. Theo Mệnh đề 2.1.3, nếu p là số nguyên tố lẻ và p|R, thì p - Dn (n ≥ 0). Do đó, nếu m lẻ, m| Dn thì gcd(m, R) = 1.

Định nghĩa 2.2.1 ([2, tr. 142]). Cho m là một số nguyên. Ký hiệu ω =ω(m) là giá trị dương n nhỏ nhất thỏa mãn m|Dn (nếu nó tồn tại). Khi đó ω được gọi là hạng phân bố của m trong {Dn}.

Cho f(x) = x3−P x2+Qx−R, gọiK là mở rộng tách được (splitting field) của f(x) trong Fp[x].

Định lý 2.2.2 ([2, tr. 142]). Giả sử p là một số nguyên tố, p - 2R∆ và K là mở rộng tách được của f(x) trong Fp[x]. Nếu α, β, γ là các nghiệm của f(x) trong K, thì p| Dn khi và chỉ khi αn =βn =γn trong K.

Chứng minh. (⇒) Nếu p| Dn, thì p| Un, nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử αn =βn. Vì

Do p| Wn−6Rn suy ra

2βn(αn −γn)2 ≡ (αn−βn)(βn −γn)(αn +γn) (mod p). Do đó αn = γn.

(⇐) Mặt khác, nếu αn = βn = γn, thì hiển nhiên p| Dn.

Định lý 2.2.3 ([2, tr. 142]). Giả sử p là một số nguyên tố thỏa mãn p- 2R∆ và giả sử tồn tại ω = ω(p) trong {Dn}. Nếu p| Dn, thì ω | n.

Chứng minh. Vì p| Dn và p | Dω, theo định lý trên ta có αn = βn =γn và αω =βω = γω trong K. Nếu ω - n, thì n=ωq +r, trong đó 0< r < ω. Khi đó

αωq+r =βωq+r =γωq+r, kéo theo

αr = βr = γr.

Suy rap | Dr, mâu thuẫn với định nghĩa của ω là số nhỏ nhất thỏa mãn p| Dω. Do đó, ta có r = 0 và ω | n.

Bổ đề 2.2.4 ([1]). Nếu p - 2∆R, thì p|Dn khi và chỉ khi γn 1 = γn

2 = γn 3 = 1 trong Kp.

Chứng minh. Nếu γ1n = γ2n = γ3n = 1 trong Kp, thì theo (1.7) và (1.8) ta có p|Wn − 6Rn và p|Un; cho nên, p|Dn. Nếu p|Dn, theo Định lý 2.2.2, αn =βn =γn. Từ đó γn 1 = α n βn = 1. Tương tự γn 2 = γn 3 = 1.

Hệ quả 2.2.5 ([1]). Nếu p - 2∆R và tồn tại ω = ω(p) của p trong {Dn}, thì p|Dn khi và chỉ khi ω|n.

Chứng minh. Nếu ω|n thì p| Dn bởi vì {Dn} là dãy chia được. Mặt khác, theo Định lý 2.2.3, nếu p| Dn thì ω | n. Suy ra điều phải chứng minh.

Chương 3Dãy {En}

Một phần của tài liệu (LUẬN văn THẠC sĩ) một vài tính chất số học của các dãy số được xây dựng từ các dãy số của roettger (Trang 30 - 32)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(45 trang)