Một số kiến thức bổ trợ cho dãy {En} Nhắc lại, đặt

Một phần của tài liệu (LUẬN văn THẠC sĩ) một vài tính chất số học của các dãy số được xây dựng từ các dãy số của roettger (Trang 32 - 35)

Chương 3 Dãy{E n}

3.1 Một số kiến thức bổ trợ cho dãy {En} Nhắc lại, đặt

Nhắc lại, đặt Un = λ n−1(1−γ1n)(1−γ2n)(1−γ3n) (1−γ1)(1−γ2)(1−γ3) Vn = λn(1 +γ1n)(1 +γ2n)(1 +γ3n) Wn = Vn−2Rn,

trong đó λ =R, γ2, γ2, γ3 ∈Q; γ1, γ2, γ3 6= 1; γi 6= γj khi i6= j, γ1γ2γ3 = 1. Định nghĩa 3.1.1. Với Wn và Un xác định như trên, đặt

En = gcd(Wn, Un).

Dãy này có một số tính chất tương tự dãy Lucas {vn}. Ta bắt đầu bằng kết quả tương tự với tính chất gcd(un, vn)| 2 của dãy Lucas.

Chứng minh. Giả sử p là số nguyên tố bất kỳ thỏa mãn p | Dn và p | En. Vì p| Wn−6Rn, nên ta có p| 6Rn. Vì gcd(Dn, R) = gcd(En, R) và theo Mệnh đề 2.1.3 gcd(Dn, R) | 2, nên p chỉ có thể bằng 2, 3. Thật vậy, ví dụ với p = 5, ta có 5| Dn, và 5| 6Rn ⇒5| Rn ⇒5 | R, lúc này, 5| gcd(Dn, R), vô lý.

Nếu32 | (Dn, En), thì9| Dn ⇒9| 6Rn ⇒3 | Rn ⇒3| R ⇒3| gcd(Dn, R), điều này là không thể. Nếu 22 | (Dn, En), thì 22 | En, α = 2 ∈ {/ 0,1} điều này là không thể theo Định lý 1.2.5. Cho nên (Dn, En)| 6.

Tương tự như dãy Lucas, ta có định lý sau. Định lý 3.1.3 ([2, tr. 154]). Ta có

En | D3n. (3.1)

Chứng minh. Thật vậy, từ (1.19) ta biến đổi W3n−6R3n = (Wn −6Rn) Wn2−∆Cn2 4 + ∆WnCn2. (3.2) Nhắc lại từ Định lý 1.2.5 rằng nếu gcd(Q, R) = 1, thì 2αkgcd(Wn, Cn) =En ⇒ α = 0 hoặc 1 và nếu α = 1, thì Q˜n = W 2 n −∆Cn2 4 là số lẻ.

Bây giờ ta có thể chứng minh (3.1). Do{Un}là dãy chia được, ta cóUn | U3n. Nếu 2 - En, thì En | Qn˜ ⇒ En | W3n − 6R3n theo phương trình (3.2). Nếu 2 | En, thì En/2 là số lẻ và En/2 | Qn.˜ Vì 2 | Wn, nên 2 | Wn − 6Rn ⇒ En |

(Wn − 6Rn) ˜Qn ⇒ En | W3n − 6R3n theo phương trình (3.2). Do En | Un và Un |U3n, ta được En |U3n và En | W3n −6R3n ⇒ En | D3n.

Tiếp theo chúng tôi trình bày các kết quả liên quan số nguyên tố là ước của En.

Định lý 3.1.4 ([2, tr. 155]). Nếugcd(Q, R) = 1 vàp > 3là ước nguyên tố của En, thì p≡ 1 (mod 3).

Chứng minh. Roettger chứng minh định lý này dựa trên cách mở rộng dãy

Lucas của Williams [4]. Gọi α, β, γ là các nghiệm của đa thức X3 − P X2 + QX −R, trong đó P, Q, R là các số nguyên. Đặt

Bn = αnβn +βnγn+γnαn. Khi đó, dãy Wn =AnBn−3Rn.

Quay trở lại chứng minh định lý, giả sử p | En ⇒ p | Wn ⇒ AnBn ≡ 3Rn (mod p). Ngoài ra, vì gcd(Wn, Un, R) = gcd(En, R) ⇒ gcd(Wn, Un, R) | 2, mà p | Wn, p | Un ⇒ p | R. Vì p | gcd(Wn, Un) và Wn2−∆Un2 4 là số nguyên, ta có p | W 2 n −∆Un2 4 . Thay W 2

n bằng (AnBn − 3Rn)2 và thay ∆Un2 = A2nBn2 + 18AnBnRn −4Bn3−4A3nRn −27R2n kéo theo

p| 3Bn3+A4nBn−3A2nBn2 ⇒p | Bn(A4n −3A2nBn + 3Bn2). Nếu p| Bn thì p | R, mâu thuẫn. Vậy p -Bn. Do đó,

p |A4n−3A2nBn + 3Bn2 ⇒p| 4A4n −12A2nBn + 9Bn2

⇒p| (2A2n−3Bn)2+ 3Bn2. Kéo theo (2A2n −3Bn)2 ≡ −3Bn2 (mod p)⇒ −3B

2n n p = 1 ⇒ −3 p = 1.

Từ đó, nếu p là một số nguyên tố thỏa mãn p > 3, p ≡ −1 (mod 3) và p| D3n, ta biết rằng p- En. Tuy nhiên, như chỉ ra trong định lý sau đây rằng nếu p| D3n và p| Un thì p| Dn hoặc p| En.

Định lý 3.1.5 ([2, tr. 156]). Cho p là một số nguyên tố thỏa mãn p > 3. Nếu p| D3n và p| Un, thì p| Dn hoặc p| En.

Chứng minh. Từ Hệ quả (1.1.14), ta thấy rằng

4(W3n−6R3n) = 3∆Cn2Wn+ 6∆Cn2Rn +Wn3−6Wn2Rn.

Do đó, nếu p | Un và p | D3n, thì p | Wn2(Wn −6Rn). Nếu p - En, thì p - Wn. Khi đó, suy ra p| Wn −6Rn và do đó p| Dn.

Hệ quả 3.1.6 ([2, tr. 156]). Cho p là một số nguyên tố thỏa mãn p > 3 và p≡ −1 (mod 3). Nếu p| D3n, thì

p| Dn ⇔p | Un.

Chứng minh. Vìp≡ −1 (mod 3), theo Định lý 3.1.4, ta không thể cóp| En. Do đó, nếu p| Un thì p| Dn theo Định lý 3.1.5.

Một phần của tài liệu (LUẬN văn THẠC sĩ) một vài tính chất số học của các dãy số được xây dựng từ các dãy số của roettger (Trang 32 - 35)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(45 trang)