Mục tiêu của ở đây là tìm hiểu sự giãn nở và ăn mòn hình thái tác động lên các phức hợp (trong đó cả đầu vào và đầu ra của các toán tử đều là phức hợp) và điều đó tạo ra phép đo hạt không tầm thường, (tức là đo độ hạt trong
đó độ giãn nở không phải là đơn vị)1. Thật vậy, những phép đo hạt tầm thường như vậy đã được biết đến là quan trọng trong hình thái toán học để phân tích và lọc kỹ thuật số đối tượng theo kích thước của chúng. Sau một lời nhắc ngắn gọn về các tính từ hình thái trong khuôn khổ mạng, ở đây tác giả trình bày các toán tử cổ điển cho xử lý các không gian tôpô như các phức chất đơn giản. Sau đó, chỉ ra rằng giãn nở, ăn mòn và đo hạt đáp ứng các đặc tính nêu trên có thể thu được bằng cách cẩn thận việc tạo ra các toán tử tôpô này [7].
Trong hình thái toán học, bất kỳ toán tử nào liên kết các phần tử của mạng tinh thể L1 với các phần tử của mạng tinh thể L2 được gọi là sự giãn nở nếu nó đi cùng với đỉnh. Tương tự, một toán tử giao tiếp với cận dưới đỉnh được gọi là một sự xói mòn. Khái niệm về tính từ, được nhắc lại dưới đây, cho phép phân loại sự giãn nở và ăn mòn thành các cặp toán tử dẫn đến phép đo hạt.
Gọi L1 và L2 là hai mạng có quan hệ thứ tự và siêu tối đa được ký hiệu bởi ≤1, ≤2, V1 và V2. Hai toán tử α: L2 → L1 và αA: L1 → L2 tạo thành mộttính từ (αA; α) nếu α (a) ≤1 b, a ≤2 αA (b) với mọi phần tử a trong L2 và b trong L1. Người ta đã biết rõ rằng, với hai toán tử α và αA,nếu cặp (αA; α) là một tính từ, thì αA là một xói mòn và α là một sự giãn nở. Hơn nữa, nếu α là một sự giãn nở, thì quan hệ sau đặc trưng cho mối liên kết của nó xói mòn αA:
∀𝑎 ∈ ℒ1, 𝛼𝐴(𝑎) = 𝑉2{𝑏 ∈ ℒ2|𝛼(𝑏) ≤1 𝛼 (2.10)
Ở đây việc trình bày hai cặp toán tử liền kề, chúng cổ điển trong cấu trúc liên kết, và điều đó sẽ phục vụ để có được các phép đo hạt tầm thường trên các phức hợp. Cho x là một đơn vị trong C, đặt:𝑥̂ = {𝑦|𝑦 ⊆ 𝑥, 𝑦 ≠ ∅} 𝑎𝑛𝑑𝑥̌ =
{𝑦 ∈ ℂ|𝑥 ⊆ 𝑦}.Các toán tử Cl: P (ℂ) → P (ℂ) và St: P (ℂ) → P (ℂ) được xác
định bởi:
∀𝑋 ∈ 𝒫(ℂ), 𝐶𝑙(𝑋) =∪ {𝑥̂| 𝑥 ∈ 𝑋 }; (2.11)
∀𝑋 ∈ 𝒫(ℂ), 𝑆𝑡(𝑋) =∪ {𝑥̌| 𝑥 ∈ 𝑋 }; (2.12)
Theo định nghĩa, các toán tử Cl và St đi cùng với nhau. Do đó, nó là độ giãn trên P(ℂ). Và bằng cách áp dụng trực tiếp công thức (2.10), sự ăn mòn liền kề ClA và StA của Cl và St được cho bởi:
∀𝑋 ∈ 𝒫(ℂ), 𝐶𝑙𝐴(𝑋) =∪ {𝑌 ∈ 𝒫(ℂ)|𝐶𝑙(𝑌) ⊆ 𝑋}; (2.13)
∀𝑋 ∈ 𝒫(ℂ), 𝑆𝑡𝐴(𝑋) =∪ {𝑌 ∈ 𝒫(ℂ)|𝑆𝑡(𝑌) ⊆ 𝑋}. (2.14)
Bốn toán tử được trình bày ở trên được minh họa trong Hình 2.4, trong đó các tập con X, Y, Z, V và W, được làm bằng các đơn giản màu xám trong Hình2.4 (a), 2.4 (b), 2.4 (c), 2.4 (d),và 2.4 (e), thỏa mãn các quan hệ sau Y = St (X), Z = StA (X), V = Cl (Y),W = ClA (Z).
Cho 𝑋 ∈ 𝑃(ℂ) Tập hợp Cl (X) (tương ứng St (X)) là phức nhỏ nhất
(tương ứng sao) chứa X và tập hợp ClA (X) (tương ứng với StA (X)) là phức lớn nhất (tương ứng sao) chứa trong X. Do đó, rõ ràng, C (tương ứng S) là bất biến miền của Cl và ClA (tương ứng với St và StA): C = { 𝑋 ∈ 𝑃(ℂ)) | Cl(X) = X }
={ 𝑋 ∈ 𝑃(ℂ)| ClA (X) = X} (tương ứng với S = { 𝑋 ∈ 𝑃(ℂ)| St (X) = X} =
{ 𝑋 ∈ 𝑃(ℂ)| StA (X) = X}). Các dữ kiện này được biết đến nhiều trong ngữ
cảnh của không gian tôpô nơi các tập St (X), ClA (X) và StA (X) được gọi là tương ứng là phần đóng (đơn giản), hình sao, lõi và phần bên trong của X.
Vì các toán tử Cl và St là độ giãn nở, chúng tạo thành một lựa chọn đơn giản để khảo sát hình thái phức hợp. Tuy nhiên, những sự giãn nở này là: Cl ◦ Cl (X) = Cl (X) và St ◦ St (X) = St (X). Do đó, dẫn đến đo hạt tầm thường. Để có được các phép đo hạt không tầm thường, người ta có thể coi thành phần Dil = Cl ◦ St. Thật vậy, toán tử Dil là sự giãn nở (vì nó là một thành phần của các chất pha loãng), nói chung, không phải là đơn vị, kết quả của chúng luôn là phức tạp. Theo định lý về thành phần của các tính từ xói mòn liền kề được đưa rabởi Er = DilA = StA ◦ ClA. Do những nhận xét của đoạn trước,đặt Er (X) luôn là một hình sao. Như vậy, về tổng thể, tập Er(X) không phức tạp.
Do đó, cặp (Er; Dil) không dẫn đến việc đo hạt tác dụng lên phức chất. Để có được các phép đo hạt tầm thường trên các phức hợp, hạn chế toán tử. Chính xác hơn, định nghĩa các toán tử: S C và C S bởi:
∀𝑋 ∈ 𝒮,⋄ (𝑋) = 𝐶𝑙(𝑋); (2.15)
∀𝑋 ∈ 𝐶,⋆ (𝑌) = 𝑆𝑡(𝑌). (2.16)
Sự khác biệt duy nhất giữa ⋄và Cl là các lĩnh vực hoạt động của các toán tử. Một nhận xét tương tự đúng cho⋆ và St. Các toán tử này vàcũng rõ ràng là hai độ giãn. Sau đó, sử dụng lại công thức 2.10, sự ăn mòn liền kề ⋄𝑨và⋆𝑨 của⋄ và ⋆ được đưa ra bởi:
∀𝑋 ∈ 𝒞,⋄𝐴(𝑋) = ⋃{𝑌 ∈ 𝒮| ⋄ (𝑌) ⊆ 𝑋}; (2.17)
∀𝑌 ∈ 𝒮,⋆𝐴 (𝑌) = ⋃{𝑋 ∈ 𝒞| ⋆ (𝑋) ⊆ 𝑌}. (2.18)
Có thể dễ dàng nhận thấy sao⋄𝑨(X) là phần bên trong của phức chất X và phức hợp ⋆𝑨(Y) là lõi của hình sao Y. Do đó, người ta suy ra một cách đơn giản thuộc tính sau liên kết phần phụ của ⋆, ⋄, St và Clmột cách đơn giản hơn.
Thuộc tính 1: Hai mệnh đề sau đây đúng:
∀𝑋 ∈ 𝐶,⋄𝐴 (𝑋) = 𝑆𝑡𝐴(𝑋); (2.19)
∀𝑋 ∈ 𝒮,⋆𝐴(𝑌) = 𝐶𝑙𝐴(𝑌). (2.20)
Nó được biết trong cấu trúc liên kết rằng các toán tử đóng và toán tử bên trong là kép với phần bổ sung. Do đó, suy ra kết quả sau đây.
Thuộc tính 2: Các toán tử⋄ và ⋄𝐴 (tương ứng ⋆ Và ⋆𝐴) là kép w.r.t. phần bù trong 𝑃(ℂ): ta có⋄𝐴(X) =⋄ (𝑋̅)̅̅̅̅̅̅̅với bất kỳ X ∈ C (tương ứng ⋆𝐴 (Y) = ⋆ (𝑌̅)̅̅̅̅̅̅̅ , cho bất kỳ Y∈ S).
Lưu ý rằng sử dụng trực tiếp công thức 2.17, 2.18, tính toán ⋄𝐴 (X)(tương ứng ⋆𝐴 (X)) yêu cầu một thời gian hàm mũ vì tất cả các hình sao (phức hợp) phải được xem xét. Mặt khác, vì các toán tử Cl và St được xác định cục bộ,
⋄(X) và ⋆(X) có thể được tính theo thời gian tuyến tính. Do đó theo hệ quả của thuộc tính 2⋄ (X) và ⋆ (X) cũng có thể được tính theo thời gian tuyến tính.
Bây giờ hãy tìm các phần giãn nở⋄ và ⋆ , Cũng như các phần phụ của chúng, để có được một cặp giãn nở và ăn mòn liền kề tác động lên phức chất.
Hình 2.4. Minh họa về sự giãn nở và ăn mòn hình thái trên các phức hợp 2.3.2.3.Bộ lọc đóng và mở khu vực hình thái
Bộ lọc loại bỏ khỏi hình ảnh nhị phân, các thành phần được kết nối của nó có diện tích nhỏ hơn một tham số được gọi là khu vực mở. Từ góc độ hình thái học, bộ lọc này là một mở đại số, và nó có thể được mở rộng để hình ảnh thang độ xám. Các thuộc tính của khu vực mở và đóng cửa khu vực kép của họ được thu hồi. Cụ thể, điều đó đã được chứng minh rằng việc khu vực mở của tham số của hình ảnh là tối cao của thang độ xám hình ảnh nhỏ hơn có cực đại khu vực có diện tích lớn hơn hoặc bằng. Định lý này là cơ sở của một thuật toán hiệu quả cho máy tính khu vực thang độ xám mở và đóng. Việc thực hiện của nó bao gồm quét các điểm ảnh theo thứ tự phụ thuộc cả về vị trí và giá trị của chúng. Đối với mục đích này,sử dụng các điểm ảnh được đề xuất. Cấu trúc dữ liệu này là hiển thị và không yêu cầu cao về bộ nhớ. Ngoài ra, nó có thể được sử dụng trong tính toán của biến đổi hình thái phức tạp khác nhau. Các ứng dụng các khu vực mở và đóng được minh họa trên nhiệm vụ lọc ảnh và phân đoạn.
2.4. Phương pháp đánh giá chất lượng ảnh
Để đánh giá chất lượng của bức ảnh (hay khung ảnh video) ở đầu ra của bộ mã hoá, người ta thường sử dụng hai tham số: Sai số bình phương trung bình – MSE (Mean Square Error) và phương pháp đề xuất với hệ số tỷ lệ tín hiệu / tín hiệu nhiễu PSNR (Peak Signal to Noise Ratio).
MSE giữa ảnh gốc và ảnh khôi phục được tính như sau:
MSE = 1 𝑚𝑛∑ ∑( 𝑛 𝑗=1 𝑚 𝑖=1 𝑥𝑖𝑗 − 𝑦𝑖𝑗)2 (2.21) Trong đó:
xij:biểu thị giá trị điểm ảnh gốc.
yij:biểu thị giá trị điểm ảnh đã được biến đổi.
m và n lần lượt là chiều rộng và chiều cao của ảnh.
Hệ số PSNR (đơn vị deciben, dB), thường được sử dụng trong nghiên cứu xử lý hình ảnh được tính như sau:
PSNR = 10∗𝑙𝑜𝑔10(2552
𝑀𝑆𝐸) (2.22) Thông thường, nếu PSNR > 35dB thì hệ thống mắt người gần như không phân biệt được giữa ảnh gốc và ảnh khôi phục. PSNR càng cao thì chất lượng ảnh khôi phục càng tốt.
CHƯƠNG 3
THỬ NGHIỆM PHÉP LỌC HÌNH THÁI HỌC ỨNG DỤNG CHO ẢNH TÀI LIỆU KÉM CHẤT LƯỢNG
Chương này trình bày về thử nghiệm các phép toán hình thái cơ bản, tiếp đó là minh họa thử nghiệm với một số ứng dụng với các phép toán hình thái thực hiện loại bỏ nhiễu để làm rõ đối tượng, loại bỏ các chi tiết thừa trong ảnh.