Thiết kế bộ điều khiển trượt ổn định bền vững

- R là bộ điều khiển vị trí nhưng trong sở đồ này ta đang sử dụng là khâu PID tuyến tính.

3.1.3. Thiết kế bộ điều khiển trượt ổn định bền vững

Cho đối tượng điều khiển phi tuyến có mô hình vào (tín hiệu u) và ra (tín hiệu ra y):

Trong đó hàm phi tuyến f là bất định. Giả thiết rằng có là hữu hạn, tức là:

(3.11)

Nhiệm vụ điều khiển được đặt ra ở đây là phải thiết kế một bộ điều khiển phản hồi tín hiệu ra y sao cho hệ kín thu được là thích hợp. Nếu so sánh với trường hợp đã xét ở trên thì vị trí đối tượng tuyến tính S(s) nay được thay bằng đối tượng phi tuyến có mô hình vào/ra cho ở trên và ta phải tìm bộ điều khiển:

Nhưng cho đối tượng phi tuyến này Đặt x1  y, 2 ,..., 11    n nn dt y d x dt dy

x sẽ có từ mô hình vào/ra của đối tượng đã cho phương trình trạng thái tương đương như sau:

(3.12)

Trong đó . Nhiệm vụ điều khiển bây giờ là phải

tìm bộ điều khiển phản hồi tín hiệu ra y để với nó và khi w = 0 hệ kín ở hình 3.4 luôn có

Định lý 2.1 (Điều khiển ổn định bền vững nhờ bộ điều khiển trượt):

Nếu đối tượng phi tuyến mô tả bởi mô hình trạng thái (3.12) thỏa mãn điều kiện bị chặn (3.11) thì luôn tồn tại bộ điều khiển phản hồi ra không phụ thuộc hàm f của mô hình đối tượng (nên nó một bộ điều khiển bền vững):

u=(k+) sgn(s) với k > 0 tùy chọn (3.13) Trong đó:

(3.14) Có các hằng số a0, a1,… , an-2 được chọn để đa thức

(3.15) Là Hurwitz sao cho sau một khoảng thời gian T hữu hạn luôn có

(3.16)

Hình 3.4. Minh họa định lý 1

Chứng minh:

Rõ ràng, do có nên nhiệm vụ (2.9) trên nên bộ điều khiển tương đương với:

Xét hàm s(e) định nghĩa bởi (3.14). Khi đó nghiệm e(t) của phương trình vi phân tuyến tính tham số hằng s(e) = 0 thỏa mãn (2.10), thì cần và đủ là đa thức đặc tính (3.15) của nó là đa thức Hurwitz (có tất cả các nghiệm 1, 2, …,

1

n

 nằm bên trái trục ảo). Do đó trường hợp phương trình vi phân s(e) =0 có đa thức đặc tính p() là đa thức Hurwitz thì nhiệm vụ (3.16) của bộ điều khiển ổn định sẽ được thay bằng nhiệm vụ đơn giản hơn là:

(2.11)

Mục tiêu phải đạt được của bộ điều khiển được gọi là điều khiển trượt (slingding condition) và hàm s(e) định nghĩa bởi (3.14) có đa thức đặc tính (3.15) là đa thức Hurwitz được gọi là mặt trượt (slingding surface).

(2.6)

66

Bây giờ ta sẽ tiến hành thiết kế bộ điều khiển phản hồi tín hiệu ra y thỏa mãn điều kiện trượt.

Với mặt cong trượt cho theo công thức (3.14) và mô hình (3.4) của đối tượng điều khiển ta suy ra được từ điều kiện trượt:

Kết hợp thêm với giả thiết (2.4) thì đủ để có được (2.12) là:

Rõ ràng bộ điều khiển (3.18) hoàn toàn không phụ thuộc vào mô hình (3.4) của đối tượng điều khiển, nên nó chính là điều khiển bền vững.

Vấn đề còn lại là xác định một bộ điều khiển phản hồi đầu ra y thỏa mãn (3.18). Xét một bộ điều khiển phản hồi đầu ra y ứng với w = 0. Trước tiên ta giả sử s > 0. Khi đó sẽ có u = (k + ) và từ mô hình (3.4) cũng xnhư giả thiết (3.11) ta được . Điều này chỉ rằng phải tồn tại T1 hữu hạn để có >0 khi t > T1.Tiếp tục, do có khi t > T1 nên cũng phải tồn tại T2 để xn1> 0 khi t >

1

T + T2. Cứ lý luận như vậy ta sẽ thấy phải tồn tại T = T1 + T2 +… + Tn hữu hạn để đồng thời có xi> 0, 1 ≤ i ≤ n khi t > T cũng sẽ có:

(3.17)

Và do đó bộ điều khiển phản hồi đầu ra (3.13) thỏa mãn điều kiện (3.18), ít nhất là khi t> T. Lý luận tương tự cho trường hợp s < 0 ta cũng thấy (3.13) sẽ thỏa mãn (3.18), khi t > T. Vậy trong cả hai trường hợp s > 0 và s < 0 luôn tồn tại T hữu hạn sao cho khi có t > T bộ điều khiển phản hồi đầu ra (3.13) sẽ thỏa mãn điều kiện đủ (3.18) của điều kiện trượt và do đó nó làm đối tượng (2.5) ổn định tiệm cận theo nghĩa (3.16).

Chú ý: Về nội dung định lý 2.1 ta có vài điều bàn thêm như sau:

- Bộ điều khiển trượt (2.6) chỉ có nhiệm vụ làm cho s(e) 0, nói cách khác nó chỉ có nhiệm vụ đưa quỹ đạo trạng thái tự do của hệ kín về với mặt trượt s(e) = 0. Khi đã về tới mặt trượt, quỹ đạo trạng thái tự do của hệ kín sẽ tự trượt về gốc tọa độ.

- Khi hằng số k của bộ điều khiển (2.6) được chọn càng lớn, thời gian T sẽ càng nhỏ và do đó tốc độ s(e) 0 càng cao, và do đó tốc độ s(e) = 0.

Khi đa thức đặc tính p() của phương trình vi phân s(e)= 0 có các nghiệm 1, 2, …, n1nằm càng xa trục ảo về phía trái, quỹ đạo trạng thái tự do của hệ kín

trượt càng nhanh trên mặt trượt về gốc tọa độ. Ta có thể xác định các hệ số a0,

1

a ,…, an2cho mặt trượt (2.7) từ 1, 2, …, n1chọn trước của phương trình vi

phân s(e) = 0 như sau:

(-1)(-2) …. ( - n1) = a0 + a1 + … + an2 n2+ n1

- Các bộ điều khiển trượt mang tính bền vững rất cao, song chúng lại có chung một nhược điểm chính là tạo ra hiện tượng rung (chattering) trong hệ. Các công trình nghiên cứu gần đây về điều khiển trượt thường tập trung chủ yếu vào lĩnh vực giảm hiện tượng rung này.

- Với những bài toán mà đối tượng điều khiển (2.5) không thỏa mãn điều kiện (2.4) thì để điều khiển đối tượng, ta có thể thay vào vị trí bộ điều khiển phản hồi tín hiệu ra (2.6) bất cứ một bộ điều khiển phản hồi trạng thái nào khác thỏa mãn

68

điều kiện (3.17). Tuy nhiên bộ điều khiển đó sẽ phụ thuộc độ chính xác của mô hình đối tượng (phụ thuộc hàm f) và do đó tính bền vững của nó cũng sẽ mất. - Trong trường hợp điều kiện ràng buộc (2.4) không được thỏa mãn, song ta lại tìm được hàm µ( ) nào đó chặn trên của f( ) theo nghĩa:

Thì ta lại vẫn có được bộ điều khiển GAS bền vững phản hồi trạng thái, đó là những bộ điều khiển thỏa mãn điều kiện đủ tì ta vẫn có được bộ điều khiển GAS bền vững phản hồi trạng thái, đó là những bộ điều khiển thỏa mãn điều kiện đủ, được suỷa từ (2.12) như sau:

chẳng hạn như: u= [k + µ(x)] sgn(s) với k > 0 tùy chọn

Hơn nữa, nếu hàm µ( ) chỉ phụ thuộc x1 = y thì bộ điều khiển trên trở thành bộ điều khiển bền vững phản hồi đầu ra.