Trong phần này, ta áp dụng kết quả của Định lí 2.3 để giải bài toán chấp nhận tách đa tập. Xét bài toán sau:
Tìm một phần tử x∗ ∈ S = 200 \ i=1 Li \ T−1 100 \ j=1 Kj, (2.20) trong đó Li = [0,1/i]×[−1/i,2i−1]×[1−i,1 +i]⊂ R3, i = 1,2, . . . ,200, Kj = [1−j, j]×[1−j/2,1 +j] ⊂R2, j = 1,2, . . . ,100, và T : R3 → R2 được xác định bởi T(x1, x2, x3) = (10x1,8x2) ∀x= (x1, x2, x3) ∈R3. Dễ thấy S = [0,1/200]×[1/16,1/4]×[0,2].
Áp dụng Định lí 2.3 với rn = 1với mọi n, sau 20bước lặp, ta thu được bảng kết quả dưới đây:
x20 1 x20 2 x20 3 x0 = (10,20,30),PSx0 = (1/200,1/4,2) 4.9999999998332e−03 2.4999999999962e−01 1.9999999999999e+ 00 x0 = (−10,−20,−30), PSx0 = (0,1/16,0) 1.2155183790854e−10 6.2500000023101e−02 1.9005242585332e−11 x0 = (10,−20,30),PSx0 = (1/200,1/16,2) 4.9999999997732e−03 6.2500000008657e−02 1.9999999999989e+ 00 x0 = (10,20,−30),PSx0 = (1/200,1/4,0) 4.9999783636404e−03 2.4999997444611e−01 1.6293915781383e−08 Bảng 2.1: Bảng kết quả số cho Bài toán (2.20)
Kết luận
Luận văn đã trình bày lại một cách khá chi tiết và hệ thống về các vấn đề sau:
• Một số tính chất đặc trưng của không gian không gian Banach phản xạ, không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn đều và ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc;
• Phép chiếu mêtric và phép chiếu tổng quát cùng với một số tính chất cơ bản của chúng;
• Các kết quả nghiên cứu của T.M. Tuyen, N.S Ha, N.T.T Thuy trong tài liệu [15] về phương pháp chiếu co hẹp cho bài toán không điểm chung tách trong không gian Banach. Ngoài ra, luận văn cũng đề cập đến các ứng dụng của định lý chính để giải một số bài toán liên quan khác như bài toán điểm cực tiểu tách, bài toán chấp nhận tách đa tập và bất đẳng thức biến phân tách.
Tài liệu tham khảo
[1] Agarwal R. P., O’Regan D., Sahu D. R. (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.
[2] Burachik R. S., Iusem A. N., Svaiter B. F. (1997), “Enlargement of mono- tone operators with applications to variational inequalities”, Set-Valued Analysis, pp. 159–180.
[3] Byrne C. (2002), “Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem”, Inverse Problems, 18 (2), pp. 441–453.
[4] Byrne C. (2004), “A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction”, Inverse Problems, 18, pp. 103–120.
[5] Censor Y., Elfving T. (1994), “A multi projection algorithm using Bregman projections in a product space”, Numer. Algorithms, 8 (2-4), pp. 221–239.
[6] Diestel J. (1970), Geometry of Banach Spaces-Selected Topics, Springer- Verlag.
[7] Goebel K., Kirk W.A. (1990), Topic in Metric Fixed Point Theory, Cam- bridge University Press.
[8] Kamimura S., Takahashi W. (2003), “Strong convergence of proximal-type algorithm in Banach space”, SIAM J. Optim., 13(3), pp. 938–945
[9] Lindenstrauss J., Tzafriri L. (1979), Classical Banach Spaces II: Function Spaces, Ergebnisse Math. Grenzgebiete Bd. 97, Springer-Verlag.
[10] Mosco U. (1969), “Convergence of convex sets and of solutions of variational inequalities”, Adv. Math., 3, pp. 510–585.
[11] Rockafellar R. T. (1970), “On the maximal monotonicity of subdifferential mappings”, Pacific J. Math., Vol. 33(1), pp. 209–216.
[12] Rockafellar R. T. (1970), “On the maximality of sums of nonlinear mono- tone operators”, Trans. Amer. Math. Soc., 149, pp. 75–88.
[13] Shehu Y., Agbebaku D.F. (2017), “On split inclusion problem and fixed point problem for multi-valued mappings”, Comp. Appl. Math., 37(2), pp. 1807–1824.
[14] Tsukada M. (1984), “Convergence of best approximations in a smooth Ba- nach space”, J. Approx. Theory., 40, pp. 301–309.
[15] Tuyen T.M, Ha N.S, Thuy N.T.T (2018), “A shrinking projection method for solving the split common null point problem in Banach spaces”, Num- ber, Algor, doi.org/10.1007/s11075-018-0572-5.