Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của E, cho iC là hàm chỉ của C, nghĩa là:
iC(x) = (
0, khi x∈ C,
∞, khi x /∈ C.
Dễ thấy iC là hàm lồi, chính thường và nửa liên tục, dưới vi phân ∂iC của nó là một toán tử đơn điệu cực đại. Ta biết rằng
∂iC(u) =N(u, C) ={f ∈E∗ : hu−y, fi ≥ 0 ∀y ∈ C},
trong đó N(u, C) là hình nón pháp tuyến của C tại u.
Chúng ta ký hiệu giải thức của ∂iC là Jr với r > 0. Giả sử u = Jrx với
x∈E nghĩa là
JE(x−u)
r ∈∂iC(u) =N(u, C).
Do đó, ta có
hu−y, JE(x−u)i ≥0,
với mọi y ∈C. Từ Mệnh đề 1.15, suy ra u= PCx. Do đó, từ Định lí 2.1, ta có định lí sau:
Định lí 2.3. Cho E, F, JE, JF, T, T∗ như trong Định lí 2.2. Cho Li, i = 1,2, . . . , N và Kj, j = 1,2, . . . , M là các tập con lồi, đóng, khác rỗng của E và F, tương ứng. Giả sử S = TN i=1Li T T−1 TM j=1Kj 6 = ∅. Cho x1 ∈E và cho {xn} là một dãy được xác định bởi C0 = E, x0 ∈ E và
zj,n = xn −rnJE−1T∗(JF(T xn −PKjT xn)), j = 1,2, . . . , M, Chọn jn sao cho kzjn,n −xnk= max
j=1,...,Mkzjn,n−xnk, đặt zn = zjn,n, Dn ={z ∈E :hxn−z, JE(xn −zn)i ≥rnkT xn −PKjnT xnk2}, ti,n = PLizn, i = 1,2, . . . , N,
Chọn in sao cho ktin,n−znk= max
i=1,...,Nktin,n−znk, đặt tn = tin,n, Cn+1 = {z ∈ Cn : htn −z, JE(zn−tn)i ≥ 0}\Dn,
xn+1 =PCn+1x0,
trong đó {rn} ⊂ (0,∞). Nếu điều kiện (C1) được thỏa mãn, thì dãy {xn} hội tụ mạnh đến x† =PSx0.