Bài toán tối ưu tuyến tính hai cấp có dạng:
min
x,y F(x, y) =c1x+d1y (BLPP) với các điều kiện
A1x+B1y ≤ b1, x∈ X, y nghiệm đúng min y f(x, y) =c2x+d2y, A2x+B2y ≤ b2, ∀y ∈Y. trong đó X ⊂ Rn, Y ⊂ Rm, x, c1, c2 ∈ Rn, y, d1, d2 ∈ Rm, A1, B1, A2, B2 và
b1, b2là các ma trận và véctơ có kích thước thích hợp. Ta nêu một số định nghĩa:
∗ Miền ràng buộccủa bài toán (BLPP):
S ={(x, y) : x ∈X, y ∈ Y, A1x+B1y ≤ b1, A2x+B2y ≤ b2}.
∗ Tập chấp nhận được của bài toán cấp dưới với mỗix∈X cố định:
S(x) ={y ∈Y : B2y ≤ b2−A2x}.
∗ Tập nghiệm tối ưucủa bài toán cấp dưới:
∗ Tập chấp nhận được (còn gọi làmiền cảm sinh) của bài toán (BLPP):
M ={(x, y)∈ S: y ∈P(x)}.
KhiS vàP(x) khác rỗng, bài toán (BLPP) có thể viết lại thành bài toán tối ưu mộtcấp thông thường:
min{F(x, y) : (x, y) ∈S, y ∈P(x)}= min{F(x, y) : (x, y) ∈ M}.
Các khái niệm trên được minh họa qua ví dụ bằng số sau đây.
Ví dụ 2.4. Xét bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính
min
x≥0 F(x, y) =x−4y
với điều kiện
min
y≥0 {f(y) =y: −x−y ≤ −3, −2x+y ≤0, 2x+y ≤12, −3x+ 2y ≤ −4}.
Với bài toán hai cấp tuyến tính, Bard J. F. [4] đã chứng minh
Định lí 2.1. Tập chấp nhận được M của bài toán (BLPP) là tập nghiệm của một ràng buộc đẳng thức tuyến tính từng khúc và tạo nên bởi giao củaS với một số siêu phẳng tựa củaS.
Định lí 2.2. Nghiệm tối ưu(x∗, y∗)của bài toán(BLPP)đạt tại một đỉnh của tậpS.
Các định lý này được sử dụng trong thuật toán liệt kê đỉnh của Candler và Towns- ley. Ngoài ra, cách tiếp cận dựa trên phương pháp đơn hình và nhiều phương pháp phạt khác nhau cũng được đề xuất.
•Sau đây là cách tiếp cận sử dụng điều kiện Karush - Kuhn - Tucker.
Cách tiếp cận này thay bài toán tối ưu cấp dưới bằng điều kiện KKT: Cố định
x= ˆx, điều kiện KKT cho điểm cực tiểu địa phươngy∗của bài toán
min
y {f(ˆx, y) : g(ˆx, y) ≥ 0}
là
∇yf(ˆx, y∗)−µT∇yg(ˆx, y∗) = 0, µTg(ˆx, y∗) = 0, µ ≥0.
Bài toán cấp dưới
min
y∈Y {f(x, y) =c2x+d2y: A2x+B2y ≤b2, y ≥ 0}= min
y∈Y {f(x, y) =c2x+d2y: b2−A2x−B2y ≥0, y ≥0}
được thay bằng điều kiện KKT (các biến đối ngẫuu, vlà các véctơ hàng):
d2+uB2−v = 0,
u(b2 −A2x−B2y) +vy = 0, u, v ≥0.
Khi đó có thể viết lại bài toán (BLPP) thành (theo các biếnx, y, u, v)
min
với các điều kiện A1x+B1y ≤b1, uB2 −v =−d2, u(b2 −A2x−B2y) +vy = 0, A2x+B2y ≤b2, x≥ 0, y ≥0, u≥0, v ≥0. 2.5 Một số hướng ứng dụng
Mô hình bài toán tối ưu hai cấp thường được áp dụng vào các hệ thống có cấu trúc phân cấp, trong đó quyết định của cấp trên có ảnh hưởng tới quyết định của cấp dưới mà không cần can thiệp trực tiếp vào hoạt động của cấp dưới và hàm mục tiêu của bộ phận này phụ thuộc một phần vào các biến bị điều khiển bởi bộ phận khác, hoạt động ở cấp cao hơn hay cấp thấp hơn.
Tối ưu hai cấp còn có thể được áp dụng trong công tác lập kế hoạch phát triển kinh tế, xã hội cho một vùng lãnh thổ hay một quốc gia: cấp trên là nhà nước nắm quyền điều khiển các biến chính sách như biểu thuế, tỉ giá, côta nhập khẩu,... nhằm mục tiêu tạo ra nhiều việc làm, cực tiểu nguồn lực sử dụng,... Cấp dưới là các công ty với mục tiêu tối đa hóa thu nhập ròng với các ràng buộc về kinh tế và quản lý của cấp trên.
Cũng có thể áp dụng tối ưu hai cấp trong phân bổ nguồn lực (Resource Alloca- tion) ở một hãng hay công ty có phân cấp quản lý. Cấp trên giữ vai trò của trung tâm cung cấp nguồn lực (vốn, vật tư, lao động) nhằm đạt cực đại lợi nhuận của toàn công ty. Cấp dưới là các nhà máy sản xuất sản phẩm ở các địa điểm khác nhau, quyết định tỉ lệ, sản lượng sản xuất riêng nhằm tối đa hóa hiệu suất của đơn vị mình.
Cuối cùng, tối ưu hai cấp cũng được áp dụng trong thiết kế mạng hệ thống vận tải và trong các thị trường năng lượng (Energy Markets).
Giả sử cónnhà máy cùng tham gia vào thị trường sản xuất điện năng, trong đó có một nhà máy (đánh số 1) có sản lượng lớn nhất và giữ vai trò chủ đạo (chủ cái), các nhà máy còn lại đánh số 2,3, . . . , n. Gọi xi là sản lượng điện cần sản xuất của nhà máy thứ i, i = 1,2, . . . , n vàfi(xi) là chi phí sản xuất của nhà máy i. Giá bán điệnpsẽ phụ thuộc vào tổng lượng điện do các nhà máy sản xuất ra. Nhà máy 1 công bố mức sản lượng của mình trước và các nhà máy khác sẽ phản ứng lại đối với số lượng này. Mỗi nhà máy đều mong muốn tối đa hóa lợi nhuận thu được (số tiền bán điện sau khi trừ chi phí sản xuất). Khi đó, bài toán tối ưu hai cấp đặt ra là
max x1 ( x1p n X i=1 xi ! −f1(x1) )
với điều kiện
xi ∈arg max xi ( xip n X i=1 xi ! −fi(xi) ) , i= 2, . . . , n.
Tóm lại, chương này đã giới thiệu khái quát một số kiến thức cơ bản về bài toán tối ưu hai cấp, một trong những lớp bài toán qui hoạch toán học đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu ở trong và ngoài nước. Phân tích nội dung, xuất xứ của bài toán và các tính chất cần biết về bài toán, nhằm giúp việc học tập, nghiên cứu bài toán tối ưu hai cấp được thuận lợi và dễ dàng hơn.
Đáng chú ý và được nghiên cứu nhiều hơn cả là các bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính một hay nhiều mục tiêu. Tuy nhiên, khả năng ứng dụng của tối ưu hai cấp hiện còn bị hạn chế, do thiếu các thuật toán giải hiệu quả.
Chương 3
Tối ưu hai cấp tuyến tính và tối ưu đa mục tiêu
Chương này đề cập tới một mô hình bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính, cùng với bài toán tối ưu (một cấp) đa mục tiêu có liên quan và xét mối liên hệ giữa bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính với bài toán tối ưu trên tập nghiệm hữu hiệu (tập điểm Pareto). Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [2], [7] và [9].
3.1 Nội dung vấn đề
Chương này xét mối quan hệ giữa hai bài toán qui hoạch toán học đặc biệt.
A. Bài toán thứ nhấtcần xét làbài toán tối ưu hai cấp tuyến tính:
max
x
cT11x+cT12y , (3.1)
trong đóy là nghiệm tối ưu của bài toán
max cT21x+cT22y: A1x+A2y ≤b , (3.2)
với x, c11, c21 ∈ Rn, y, c12, c22 ∈ Rp, b ∈ Rm, A1 ∈ Rm×n, A2 ∈ Rm×p, T là ký hiệu chuyển vị véctơ hay ma trận.
Bài toán dạng (3.1) - (3.2) có thể nảy sinh khi có hai chủ thể được quyền ra quyết định ở hai mức phân cấp khác nhau: cấp trên và cấp dưới, hai cấp có chung các ràng buộc, nhưng với hai lợi ích (mục tiêu) khác nhau và có thể xung đột nhau. Quá trình đề ra quyết định thực hiện theo thứ bậc. Cấp trên quản lý các biếnx, được lựa chọn quyết định trước, do đó hạn chế không gian quyết định của cấp dưới, được phân
quyền quản lý các biếny.
Bài toán thứ hai cần xét có liên quan tớibài toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu
V max{Cz: z ∈P}, (3.3)
trong đó z ∈ RN, C ∈ Rk×n, P ⊆ RN là tập lồi đa diện. Ta nhắc lại rằng điểm
¯
z ∈ RN là một nghiệm hữu hiệu của (3.3) khi z¯ ∈ P và không tồn tạiz ∈ P sao choCz ≥ Cz¯và Cx6= Cz¯. Ký hiệuE(P) là tập các nghiệm hữu hiệu của bài toán (3.3).
B. Bài toán thứ haicần xét làbài toán tối ưu trên tập nghiệm hữu hiệu:
max{dTx: x∈ E(P)}, (3.4)
trong đód ∈ RN. Bài toán (3.4) là mô hình toán học của bài toán tối ưu tuyến tính trên tập nghiệm hữu hiệu (tập điểm Pareto) E(P) của bài toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu (3.3). Tối ưu tuyến tính trên tập điểm hữu hiệu có một số ứng dụng trong tối ưu đa mục tiêu và là một chủ đề nghiên cứu quan trọng trong tối ưu toàn cục.
Đã có nhiều nỗ lực để thiết lập mối liên hệ giữa bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính (3.1) - (3.2) và bài toán tối ưu tuyến tính hai mục tiêu (3.3) với
C = cT11 cT12 cT21 cT22
vàP ={(x, y) : A1x+A2y ≤b}là tập lồi đa diện(n+p)chiều.
Cùng với sự qua tâm về mặt lý thuyết, mối liên hệ như thế có thể hữu ích về mặt tính toán, do có các thuật toán hiệu quả cho tối ưu hai mục tiêu. Tuy nhiên, người ta đã chỉ ra rằng nói chung không có mối liên hệ nào giữa bài toán tối ưu hai cấp (3.1) - (3.2) với bài toán tối ưu hai mục tiêu (3.3) đã mô tả. Hơn nữa, với hai véctơ cho trước bất kỳc12 vàc22không tỉ lệ với nhau, có thể xây dựng bài toán (3.1) - (3.2) sao cho nghiệm tối ưu của (3.1) - (3.2) không là nghiệm hữu hiệu của bài toán hai mục tiêu (3.3) xây dựng ở trên.
Tiếp theo, Mục 3.2 giới thiệu một kết quả nghiên cứu cho biết rằng có thể xây dựng bài toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu sao cho tập nghiệm chấp nhận được của
(3.1) - (3.2) trùng với tập nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu đã xây dựng. Bài toán tối ưu da mục tiêu này cór+ 2tiêu chuẩn mục tiêu, trong đó
r =rank A1. Như vậy bài toán (3.1) - (3.2) có thể diễn đạt như một bài toán (3.4). Từ đó dẫn tới hệ quả đáng chú ý là bài toán tối ưu tuyến tính trên tập hữu hiệu là NP - khó.
Cuối cùng, Mục 3.2 đề cập tới cách diễn đạt theo chiều hướng ngược lại: Với bất kỳ bài toán (3.4), có thể xây dựng bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính (3.1) - (3.2) sao cho giá trị tối ưu của hai bài toán này là trùng nhau và tồn tại phép tương ứng đơn giản giữa các nghiệm tối ưu của hai bài toán.
3.2 Quan hệ với tối ưu đa mục tiêu
Trở lại bài toán (3.1) - (3.2). Cặp (¯x,y¯), trong đó x¯ ∈ Rn và y¯ ∈ Rp, là một nghiệm chấp nhận được của (3.1) - (3.2) khiA1x¯+A2y¯≤ b vày¯là nghiệm tối ưu của bài toán:
max{cT21x¯+cT22y: A2y ≤ b−A1x¯}, (3.5)
trong đóx¯đã được cố định. VìcT21x¯chỉ là một hằng số trong hàm mục tiêu của (3.5), nên có thể loại bỏ số hạng này hoặc đơn giản là thay c21 bởi véctơ 0. Cặp (¯x,y¯) là một nghiệm tối ưu của (3.1) - (3.2) khi (¯x,y¯)) là một nghiệm chấp nhận được của (3.1) - (3.2) và
cT11x¯+cT12y¯≥ cT11x+cT12y,
với một nghiệm chấp nhận được bất kỳ(x, y)của (3.1) - (3.2).
Với bài toán (3.1) - (3.2) đã cho, ta xác định bài toán tối ưu đa mục tiêu (3.3) như sau. ĐặtN =n+pvàA = [A1, A2]là ma trận cấpm×nvà đặt
P ={z = (x, y)∈ RN |Az ≤b}, (3.6)
P là một tập lồi đa diện trongRN. Giả sửr=rankA1. Không giảm tổng quát, ta có thể giả thiết rằngA1 được phân tách thành
¯
A1
trong đóA¯ 1là ma trậnr×nvàr =rankA¯ 1. Giả sửk =r+ 2và ma trận mục tiêu C cấpk×N được xác định bởi C = ¯ A1 O −eTA¯1 0T2 0T1 cT22 , (3.7)
trong đóO là ma trận không cấpr×p, 01 và02 lần lượt là các véctơ khôngn vàp
chiều vàe ∈Rr với mọi phần tử bằng 1.
Mệnh đề 3.1. Cặp(¯x,y¯)là một nghiệm chấp nhận được của(3.1) - (3.2)khi và chỉ khi ¯ z = ¯ x ¯ y
là một nghiệm hữu hiệu của(3.3) xác định bởi(3.6) và(3.7).
Chứng minh. Giả sử (¯x,y¯) là một nghiệm chấp nhận được của (3.1) - (3.2) nhưng
¯
z không là nghiệm hữu hiệu của (3.3). Khi đó tồn tại z ∈ P sao cho Cz ≥ Cz¯
và Cz 6= Cz¯. Giả sử z được phân tách thành zT = [xT, yT], trong đó x ∈ Rn và
y ∈ Rp. Do A¯
1x ≥ A¯1x¯và−eTA¯1x ≥ −eTA¯1x¯nên ta nhận được A¯
1x = ¯A1x¯ và
A1x = A1x¯. Thêm vào đó, từ A1x+A2y ≤ b suy ra y là một nghiệm chấp nhận được của (3.5). Hơn nữa Cz 6= Cz¯kéo theo cT22y > cT22y¯. Bất đẳng thức này mâu thuẫn vớiy¯là nghiệm tối ưu của (3.5) và(¯x,y¯) là nghiệm chấp nhận được của (3.1) - (3.2).
Ngược lại, giả sử z¯là một nghiệm hữu hiệu của (3.3) nhưng (¯x,y¯) không là nghiệm chấp nhận được của (3.1) - (3.2). Tập ràng buộc của (3.5) là không rỗng, chẳng hạn y¯là một nghiệm chấp nhận được. Tồn tạiy˜∈ Rp sao choy˜là chấp nhận được của (3.5) vàcT22y > c˜ T22y¯. Đăt véctơz˜xác định bởi
˜ z = ¯ x ˜ y
Rõ ràng là z˜ ∈ P, Cz˜ ≥ Cz¯và Cz˜ 6= Cz¯. Điều này mâu thuẫn với z¯là một nghiệm hữu hiệu của (3.3).
Bổ đề 3.1. Cặp (¯x,y¯) là một nghiệm tối ưu của(3.1) - (3.2)khi và chỉ khi ¯ z = ¯ x ¯ y
là một nghiệm tối ưu của(3.4)xác định bởi(3.6)và(3.7)và
d= c11 c12 . Mệnh đề 3.2. Bài toán(3.4)làNP- khó.
Chứng minh. Bài toán tối ưu hai cấp (3.1) - (3.2) là NP - khó. Như vừa thấy ở trên, (3.1) - (3.2) có thể qui dẫn về bài toán (3.4) qua một phép biến đổi đa thức. Từ đó trực tiếp suy ra mệnh đề cần chứng minh.
3.3 Quan hệ với tối ưu trên tập nghiệm hữu hiệu
Xét bài toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu (3.3), trong đó C là ma trận cấp
k ×N, P = {z = (x, y) ∈ RN | Az ≤ ¯b}, A là ma trận cấpm¯ ×N, z ∈ RN và
¯b ∈ Rm¯. Mỗiz ∈ P được đặt tương ứng với một bài toán qui hoạch tuyến tính theo biếnw:
max{eTC(w−z) | Cw≥ Cz, w ∈P}, (3.8)
trong đóelà véctơkchiều với mọi phần tử bằng 1. Có thể chỉ ra rằngz ∈E(P)khi và chỉ khi giá trị tối ưu của (3.8) bằng 0. Hơn nữa, mỗi nghiệm tối ưu của (3.8) là một nghiệm hữu hiệu, tức là thuộcE(P), bất kểzcó là nghiệm hữu hiệu hay không.
Xétbài toán tối ưu hai cấp tuyến tính(cấp trên chọnz, cấp dưới chọnw):
max
z dTw. (3.9)
trong đówlà nghiệm tối ưu của bài toán
trong đód ∈RN. Nếu đặtn =p= N, m= 2 ¯m+k, x =z, y =w, c11 = 0, c12 = d, c21 =−eTC, c22 = eTC, A1 = A O C , A2 = O A −C vàb= ¯b ¯b 0 ,
trong đóOlà ma trận không cấpm¯ ×N và0là véctơ khôngkchiều, thì bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính (3.9) - (3.10) có thể viết lại thành dạng (3.1) - (3.2).
Với bài toán đa mục tiêu (3.3) và bài toán hai cấp (3.9) - (3.10) vừa mô tả ta có
Mệnh đề 3.3. Vớiz¯∈RN, các mệnh đề sau là tương đương:
(a) z¯là một nghiệm hữu hiệu của(3.3).
(b) Cặp(¯z,z¯)là một nghiệm chấp nhận được của(3.9) - (3.10).
(c) Tồn tại z ∈ RN sao cho cặp (z,z¯) là một nghiệm chấp nhận được của (3.9) - (3.10).
Chứng minh. (a) ⇒ (b): Do z¯là một nghiệm hữu hiệu của (3.3) nên giá trị tối ưu của bài toán (3.8) xác định bởiz = ¯z bằng 0 vàw = ¯z là một nghiệm tối ưu. Do đó nếu cấp trên chọnz = ¯z trong (3.9) - (3.10) thìw = ¯z là một nghiệm tối ưu của bài toán cấp dưới (3.10). Do đó cặp(¯z,z¯) là một nghiệm chấp nhận được của bài toán (3.9) - (3.10).
(b)⇒(c): Hiển nhiên vớiz = ¯z.
(c)⇒(a): Do cặp(z,z¯)là chấp nhận được của (3.9) - (3.10) nênw = ¯zlà nghiệm tối ưu của (3.10), khi cấp trên chọnz. Cũng vậy,w= ¯zlà nghiệm tối ưu của bài toán (3.8) xác định bởiz. Từ đóz¯là một nghiệm hữu hiệu của (3.3).
Bổ đề 3.2. Bài toán (3.3) có nghiệm hữu hiệu khi và chỉ khi bài toán (3.9) - (3.10)
có nghiệm chấp nhận được. Bài toán(3.4)có giá trị tối ưu hữu hạn khi và chỉ khi bài toán (3.9) - (3.10) có giá trị tối ưu hữu hạn và hai giá trị tối ưu là bằng nhau. Với
¯
(a) z¯là một nghiệm tối ưu của(3.4).
(b) Cặp(¯z,z¯)là một nghiệm tối ưu của(3.9) - (3.10).
(c) Tồn tạiz ∈RN sao cho cặp(z,z¯)là một nghiệm tối ưu của(3.9) - (3.10).
Tóm lại, chương này đã trình bày mối liên hệ giữabài toán tối ưu hai cấp tuyến tính và bài toán tối ưu tuyến tính trên tập nghiệm hữu hiệu. Có thể mô tả bài toán này dưới dạng bài toán kia, và ngược lại, Từ đó suy ra hệ quả đáng chú ý là bài toán