Xét bài toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu (3.3), trong đó C là ma trận cấp
k ×N, P = {z = (x, y) ∈ RN | Az ≤ ¯b}, A là ma trận cấpm¯ ×N, z ∈ RN và
¯b ∈ Rm¯. Mỗiz ∈ P được đặt tương ứng với một bài toán qui hoạch tuyến tính theo biếnw:
max{eTC(w−z) | Cw≥ Cz, w ∈P}, (3.8)
trong đóelà véctơkchiều với mọi phần tử bằng 1. Có thể chỉ ra rằngz ∈E(P)khi và chỉ khi giá trị tối ưu của (3.8) bằng 0. Hơn nữa, mỗi nghiệm tối ưu của (3.8) là một nghiệm hữu hiệu, tức là thuộcE(P), bất kểzcó là nghiệm hữu hiệu hay không.
Xétbài toán tối ưu hai cấp tuyến tính(cấp trên chọnz, cấp dưới chọnw):
max
z dTw. (3.9)
trong đówlà nghiệm tối ưu của bài toán
trong đód ∈RN. Nếu đặtn =p= N, m= 2 ¯m+k, x =z, y =w, c11 = 0, c12 = d, c21 =−eTC, c22 = eTC, A1 = A O C , A2 = O A −C vàb= ¯b ¯b 0 ,
trong đóOlà ma trận không cấpm¯ ×N và0là véctơ khôngkchiều, thì bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính (3.9) - (3.10) có thể viết lại thành dạng (3.1) - (3.2).
Với bài toán đa mục tiêu (3.3) và bài toán hai cấp (3.9) - (3.10) vừa mô tả ta có
Mệnh đề 3.3. Vớiz¯∈RN, các mệnh đề sau là tương đương:
(a) z¯là một nghiệm hữu hiệu của(3.3).
(b) Cặp(¯z,z¯)là một nghiệm chấp nhận được của(3.9) - (3.10).
(c) Tồn tại z ∈ RN sao cho cặp (z,z¯) là một nghiệm chấp nhận được của (3.9) - (3.10).
Chứng minh. (a) ⇒ (b): Do z¯là một nghiệm hữu hiệu của (3.3) nên giá trị tối ưu của bài toán (3.8) xác định bởiz = ¯z bằng 0 vàw = ¯z là một nghiệm tối ưu. Do đó nếu cấp trên chọnz = ¯z trong (3.9) - (3.10) thìw = ¯z là một nghiệm tối ưu của bài toán cấp dưới (3.10). Do đó cặp(¯z,z¯) là một nghiệm chấp nhận được của bài toán (3.9) - (3.10).
(b)⇒(c): Hiển nhiên vớiz = ¯z.
(c)⇒(a): Do cặp(z,z¯)là chấp nhận được của (3.9) - (3.10) nênw = ¯zlà nghiệm tối ưu của (3.10), khi cấp trên chọnz. Cũng vậy,w= ¯zlà nghiệm tối ưu của bài toán (3.8) xác định bởiz. Từ đóz¯là một nghiệm hữu hiệu của (3.3).
Bổ đề 3.2. Bài toán (3.3) có nghiệm hữu hiệu khi và chỉ khi bài toán (3.9) - (3.10)
có nghiệm chấp nhận được. Bài toán(3.4)có giá trị tối ưu hữu hạn khi và chỉ khi bài toán (3.9) - (3.10) có giá trị tối ưu hữu hạn và hai giá trị tối ưu là bằng nhau. Với
¯
(a) z¯là một nghiệm tối ưu của(3.4).
(b) Cặp(¯z,z¯)là một nghiệm tối ưu của(3.9) - (3.10).
(c) Tồn tạiz ∈RN sao cho cặp(z,z¯)là một nghiệm tối ưu của(3.9) - (3.10).
Tóm lại, chương này đã trình bày mối liên hệ giữabài toán tối ưu hai cấp tuyến tính và bài toán tối ưu tuyến tính trên tập nghiệm hữu hiệu. Có thể mô tả bài toán này dưới dạng bài toán kia, và ngược lại, Từ đó suy ra hệ quả đáng chú ý là bài toán tối ưu tuyến tính trên tập nghiệm hữu hiệu là NP - khó.
Kết luận
Luận văn đã giới thiệu về bài toán tối ưu hai cấp, các tính chất cần biết của bài toán, đặc biệt lưu ý trường hợp riêng quan trọng là bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính và một số hướng ứng dụng của tối ưu hai cấp trong thực tế, nhằm giúp việc học tập, nghiên cứu bài toán tối ưu hai cấp được thuận lợi và dễ dàng hơn.
Luận văn đã trình bày các chủ đề cụ thể sau.
1. Một số kiến thức về tập lồi đa diện, khái niệm nghiệm hữu hiệu (điểm tối ưu Pareto) của bài toán tối ưu đa mục tiêu và tính chất đặc trưng của tập nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu.
2. Nội dung, xuất xứ của bài toán tối ưu hai cấp, các tính chất cần biết của bài toán, đặc biệt lưu ý tới trường hợp riêng quan trọng là bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính một mục tiêu và một số hướng ứng dụng của tối ưu hai cấp trong thực tế.
3. Mối liên hệ giữa bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính và bài toán tối ưu tuyến tính trên tập nghiệm hữu hiệu. Có thể mô tả bài toán này dưới dạng bài toán kia, và ngược lại, chú ý là bài toán tối ưu tuyến tính trên tập nghiệm hữu hiệu là NP - khó.
Hy vọng trong tương lai tác giả sẽ có dịp tìm hiểu thêm những bài nghiên cứu hoặc tổng quan sâu sắc hơn về bài toán tối ưu hai cấp, đặc biệt là các kỹ thuật xử lý bài toán và các ứng dụng cụ thể của bài toán.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Trần Vũ Thiệu và Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội.
Tiếng Anh
[2] Ansari E., Zhiani Rezai H. (2011), "Solving Multi-objective Linear Bilevel Multi-Follower Programming Problem", Int. J. Industrial Mathematics, Vol. 3, (No. 4), p. 303 - 316.
[3] Bard J. F. (1991), "Some properties of the bilevel programming problem",
Journal of Optimization Theory and Applications, 68, p. 371 - 378.
[4] Bard J. F. (1998),Practical Bilevel Optimization: Applications and Algorithms, Kluwer Academic Press.
[5] Bracken J. and McGill J. (1973), "Mathematical Programs with Optimi-zation Problems in the Constraints",Operations Research, (21), p. 37 - 44.
[6] Candler W. and Norton R. (1977), Multilevel Programming, Tech. Rep. 20, World Bank Development Research Center,Washington D.C.
[7] Colson B., Marcotte P. and Savard G. (2005), "Bilevel Programming: A Servey. A Quarterly Journal of Operations Research", Springer –Verlag, (3), p. 87 –
[8] Fricke C., An Introduction to Bilevel Programming, Department of Mathe- matics and Statistics, University of Melbourne. http://www.neevia.com
[9] Pieume C. O. et al. (2011), "Solving Bilevel Linear Multiojective Program- ming Problem",American Journal of Operations Research, 1, p. 214 - 219. [10] Stackelberg H. (1952),The Theory of the Market Economy, Oxford University
Press.
[11] F¨ul¨op J. (1993), "On the equivalence between a linear bilevel programming problem and linear optimization over the efficient set",Technical report, Lab- oratory of Operations Research and Decision Systems, Computer and Automa- tion Institute, Hungarian Academy of Sciences, Budapest, working paper 93-1.