Phương pháp Runge-Kutta nửa hiện giải phương trình vi phân đại số
2.3.1. Phân tích cấu trúc của bài toán
Chúng ta phân tích cấu trúc của bài toán để xây dựng phương pháp số nhằm mục đích bảo toàn cấp chính xác cũng như tính chất ổn định của trường hợp PTVPT. Việc biến đổi trong chương này giúp chúng ta nghiên cứu tính giải tích của phương pháp số cần áp dụng.
Theo cấu trúc đặc biệt, PTVPĐS (2.3.1) được viết lại dưới dạng (2.3.3) trên đoạnI = [t0,T].
Bổ đề 2.3.1. Xét PTVPĐS(2.3.1)với điều kiện(2.3.2)được thỏa mãn. Khi đó, ta có i. E(t)có hạng đủ và tồn tại một hàm ma trận khả nghịchQ ∈ C1(I, Rm,m)sao cho
E(t)Q= [Im1 0].
ii. Các ma trận fv, guQ(2)và
h E
gu
i
không suy biến, trong đóQ= [Q(1) Q(2)] với
Q(1) ∈C1(I, Rm1,m),Q(2) ∈C1(I, Rm2,m).
Chứng minh. Từ giả thiết các hàm f, g đủ trơn và có các đạo hàm riêng bị chặn và thỏa mãn điều kiện (2.3.2), suy ra E(t) là một hàm ma trận có cỡ m1×m, (m1 ≤ m)có hạng đủ, nghĩa là
rank(E(t)) = m1, ∀t ∈ I.
Theo sự tồn tại của phân tích QR trơn, tồn tại một hàm ma trận trực giao theo điểmQ˜ sao choQ˜TQ˜ = Im,EQ˜ = [E11 0], trong đóE11 là một ma trận tam giác
dưới khả nghịch cỡm1×m1. Ta định nghĩa hàm ma trận Q= Q˜ E−111 0 0 Im2 . (2.3.4)
Trong đó Im2 là ma trận đơn vị cỡm2×m2. Bằng việc thực hiện phép nhân ma trận, ta suy raEQ = [Im 0].
Từ giả thiết của ma trậnQvà điều kiện (2.3.2), suy ra
h fvE gu i Q= fvEQ guQ = fv[Im 0] gu[Q(1) Q(2)] = fv 0 guQ(1) guQ(2) ,
không suy biến dọc theo nghiệm x(t). Trong đó Q = [Q(1) Q(2)] với Q(1) ∈
C1(I, Rm1,m), Q(2) ∈ C1(I, Rm2,m). Từ đây, suy ra fv và guQ(2) là các ma trận không suy biến.
Hơn nữa, ta lại có
h E gu i = fv−1 0 0 Im2 h fvE gu i . Từ đây suy ra ma trậnh gE u i
không suy biến.
Sử dụng phép đổi biếnx = Qy,ycó thể được phân hoạch thànhy = [yT1, yT2]T, trong đóy1 ∈C1(I, Rm1),y2 ∈ C1(I, Rm2). Ta có
(Ex)0(t) = (EQy)0(t) = ([Im1 0]y)0(t) = y01(t).
Như vậy, PTVPĐS (2.3.1) có thể được viết lại thành f(t, Qy, y01−E0Qy) = 0,
g(t, Qy) = 0.
(2.3.5) Từ fv là ma trận không suy biến, theo định lý hàm ẩn, tồn tại một hàm số f˜sao cho phương trình đầu tiên của (2.3.5) có thể rút ray10 −E0Qy = f˜(t, Qy). Ta định
nghĩa các hàm F(t,y1,y2,y01) = f˜(t, Qy) +E0Qy và G(t,y1,y2) = g(t,Qy). Như
vậy, PTVPĐS (2.3.5) trở thành
y01 = F(t,y1,y2), 0= G(t,y1,y2),
(2.3.6) trong đó ma trận JacobiGy2 = guQ(2)là ma trận không suy biến. PTVPĐS (2.3.6) là một dạng PTVPĐS nửa hiện chỉ số 1. Như vậy, PTVPĐS (2.3.1) có thể được giải một cách hiệu quả bằng phương pháp RK sau khi biến đổi về dạng (2.3.6). Tuy nhiên, việc nhận ra phép biến đổi này trong thực hiện tính toán là hầu như không thể. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng có thể áp dụng sơ đồ RK trực tiếp tới dạng biến đổi (2.3.5) và sau đó chứng minh phép rời rạc và phép biến đổi là giao hoán với nhau. Điều đó có nghĩa chúng ta sẽ áp dụng cùng phương pháp RK tới dạng biến đổi
(2.3.6). Phép thay thế rất đơn giảnEx0 = (Ex)0 −E0xta thu được PTVPĐS không có tính lạ có cùng nghiệm nhưng tương đương với PTVPĐS nửa hiện chỉ số 1. Do đó, phương pháp RK áp dụng cho dạng (2.3.5) sẽ có cùng cấp chính xác và tính chất ổn định như khi nó áp dụng cho PTVPĐS nửa hiện chỉ số 1. Đây chính là chìa khóa quan trọng cho chúng ta xây dựng phương pháp số trong phần tiếp theo.