Phương pháp Runge-Kutta nửa hiện giải phương trình vi phân đại số
2.3.2. Sự phụ thuộc của nghiệm vào dữ liệu
Sau đây chúng ta sẽ phân tích sự phụ thuộc của nghiệm vào dữ liệu cho PTVPĐS tuyến tính dạng (2.3.1) là khác biệt hoàn toàn nếu chúng ta xét dạng biến đổi (2.3.3) thay cho (2.3.1).
a) Xét PTVPĐS dạng tuyến tính
E11(t)x01(t) +E12(t)x02(t) = A11(t)x1(t) +A12(t)x2(t) +q1(t), 0 = A21(t)x1(t) +A22(t)x2(t) +q2(t),
(2.3.7) trong đó Eij, Aij ∈ C(I, Rmi,mj), qi ∈ C(I, Rmi), i, j = 1, 2, m1+m2 = m. Điều kiện về không có tính lạ (2.3.2) cho ta ma trận
h E11 E12
A21 A22
i
là không suy biến với mọit∈ I. (2.3.8) Bằng cách sắp xếp lại các biến một cách hợp lí, ta có thể giả sử rằng ma trận A22 là không suy biến. Từ phương trình thứ 2 của (2.3.7), ta có
x2 = −A−221A21x1−A−221q2. (2.3.9) Lấy đạo hàm hai vế của phương trình (2.3.9), ta thu được
x02 = −A22−1A21x01−(A22−1A21)0x1−(A−221q2)0. (2.3.10) Thay (2.3.9), (2.3.10) vào phương trình đầu tiên của (2.3.7) dẫn đến
¯
trong đó
¯
E11 = E11−E12A22−1A21, A¯11 = A11+E12(A−221A21)0−A12A−221A21, ¯
q1 = q1−A12A22−1q2+E12(A22−1q2)0.
Theo (2.3.8) kết hợp với giả thiết A22 là ma trận không suy biến, dựa vào lý thuyết trong đại số tuyến tính ta cóE¯11 = E11−E12A−221A21 là ma trận không suy biến. Từ đó, chúng ta thu được PTVPT
x01 = B1x1+r1. (2.3.11) Ở đây, B1 vàr1 được định nghĩa như sau:
B1 = E¯−1 11 A¯11, r1 = E¯−1 11 q¯1 = E¯−1 11 q1−A12A−221q2+E12(A−221q2)0.
Theo cách phân tích này, các phương trình thu được ở trên dường như cho thấy nghiệmxphụ thuộc vào đạo hàm củaA−221q2. Tuy nhiên, điều này không đúng theo cách phân tích chỉ ra bên dưới.
b) Bây giờ, chúng ta xét PTVPĐS tuyến tính dưới dạng biến đổi (E1x)0(t) = (A1(t) +E10(t))x(t) +q1(t),
0 = A2(t)x(t) +q2(t).
với mọi t ∈ I, trong đó x = [x1T, x2T]T, E1 = [E11 E12], A1 = [A11 A12], A2 = [A21 A22]. Theo cách biến đổi đã được giới thiệu x(t) = Q(t)y(t) = Q(t)[yT1, yT2]T vớiQđược định nghĩa bởi (2.3.4), chúng ta đi đến hệ
y01(t) = A˜11(t)y1(t) +A˜12(t)y2(t) +q1(t),
0 = A˜21(t)y1(t) +A˜22(t)y2(t) +q2(t), (2.3.12)
trong đó [A˜11 A˜12] = (A1+E0
1)Q,[A˜21 A˜22] = A2Q. Từ điều kiện (2.3.8)
suy ra ma trận A˜22 không suy biến. Như vậy, từ phương trình thứ hai của (2.3.12) dẫn đến
y2 = −A˜−1
22 A˜21y1−A˜−1
Thế (2.3.13) vào phương trình thứ nhất của (2.3.12) thu được PTVPT căn bản y10 = (A˜11−A˜12A˜−1