Từ nhiều năm trước ta đã biết rằng tổng lũy thừa các số nguyên dạng
Sk(n) = n
P
i=1
ik là một đa thức bậc k+ 1 theo biến nvới các hệ số hữu tỷ. Ví dụ, ta biết rằng
1 + 2 +. . .+n = 12n2 + 12n.
12 + 22 +. . .+ n2 = 31n3 + 12n2 + 16n
13 + 23 +. . .+ n3 = 14n4 + 12n3 + 14n2.
Để có những kết quả trên chúng ta thường sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh. Bằng cách này chúng ta chưa xây dựng được phương pháp tổng quát để tính được Sk(n) =
n
P
i=1
ik với k nguyên dương bất kỳ. Trong phần này, ta trình bày ứng dụng của định lý Stolz-Cesàro vào xác định các hệ số của đa thức này Sk(n).
Giả sử
Sk(n) = 1k+ 2k +. . .+ nk = ck+1nk+1+cknk +. . .+ c1n+c0
trong đó c0 = 0. Để tính ck+1, ta chia biểu thức trên cho nk+1:
ck+1 = lim n→∞
1k + 2k+ . . .+nk −cknk −. . .−c1n
nk+1 .
Lấy giới hạn hai vế ta thu được
ck+1 = lim n→∞ 1k+ 2k +. . .+nk nk+1 . Áp dụng Định lý Stolz-Cesàro 1.2.1 ta có ck+1 = lim n→∞ nk nk+1 −(n−1)k+1 = 1 k + 1. (2.4)
Với j = 1,2, . . . , k,
cj = Sk(n)−ck+1nk+1−cknk−. . .−cj+1nj+1 −cj−1nj−1. . .−c1n−c0 nj
với mọi n. Cho n→ +∞ ta được
cj = lim n→∞ Sk(n)−ck+1nk+1 −cknk −. . .−cj+1nj+1 nj . Áp dụng Định lý Stolz-Cesàro 1.2.1 ta có cj = lim n→∞ nk−ck+1(nk+1−(n−1)k+1)−ck(nk−(n−1)k)−...−cj+1(nj+1−(n−1)j+1) nj −(n−1)j . (2.5)
Bậc cao nhất dưới mẫu số là jnj−1. Ta biết giới hạn này tồn tại, do đó, tất cả các số hạng có bậc cao hơn j−1 trên tử số phải triệt tiêu, tất cả số hạng có bậc nhỏ hơn sẽ không ảnh hưởng đến giới hạn. Mở rộng số hạng trên tử số và rút gọn, ta thấy số hạng bậc (j −1) bằng
h
(−1)k−jck+1Ck+1j−1 + (−1)k−j−1ckCkj−1 +. . .+ cj+1Cj+1j−1inj−1.
Điều này cùng với (2.5) ta được
cj = (−1)k−jck+1Ck+1j−1 + (−1)k−j−1ckCkj−1 +. . .+cj+1Cj+1j−1
j (2.6)
Bây giờ áp dụng (2.4) và (2.6) ta có thể tính truy hồi ck+1, ck, . . . , c0. Ví dụ,
k ck+1 ck ck−1 . . . Sk(n)
0 1 n
1 12 12 12n2 + 12n
2 13 12 16 13n3 + 12n2 + 16n
Như vậy, chúng ta có được công thức truy hồi tính tổng Sk(n) = n
P
i=1
ik
với k nguyên dương bất kỳ.