Trong phần này, chúng tôi trình bày lại lời giải của E. J. Ionascu cho bài toán 11174. Bài toán này được đưa ra bởi P. P. Dalyay trong [5] và E.
J. Ionascu đã sử dụng định lý Stolz-Cesàro trong lời giải của mình ([6]). Sau đây, là phát biểu của bài bài toán 11174.
Bài toán 11174 Cho f và g là hàm liên tục, khác hằng, ánh xạ R vào R thỏa mãn các điều kiện sau:
1. f tuần hoàn.
2. Tồn tại dãy {xn}n≥1 sao cho lim
n→∞xn = ∞ và lim n→∞ g(xn) xn = ∞. 3. f ◦g khác hằng trên R.
Kiểm tra tính tuần hoàn của h = f ◦g.
Để giải bài toán trên, E. J. Ionascu chứng minh định lý sau.
Định lý 2.3.1. Cho f và g là các hàm liên tục khác hằng, từ R vào R và thỏa mãn các điều sau:
(i) f tuần hoàn.
(ii) Tồn tại các dãy {xn}n≥1 và {yn}n≥1 sao cho
inf n |xn−yn| > 0 và lim n→∞ g(xn)−g(yn) xn −yn = ∞.
Dưới các giả thiết trên hàm h = f ◦g không thể tuần hoàn.
Chứng minh. Để chứng minh h = f ◦g không thể tuần hoàn, áp dụng hệ quả 1.1.23, ta chứng minh rằng h không liên tục đều. Ta bắt đầu với
f và g thỏa mãn (i) và (ii) của định lý. Bởi vì g liên tục và theo tính chất (ii) ta thấy rằng đoạn In := g([xn, yn]) (hoặc In := g([yn, xn])), với
n đủ lớn, phải là một đoạn có độ dài lớn hơn chu kỳ tuần hoàn T của
f. Do đó miền giá trị của f bằng với miền giá trị của h = f ◦ g. Vì f
khác hằng nên h khác hằng. Cho nên, ta có thể chọn α và β sao cho
f(g(α)) 6= f(g(β)) và đặt ε0 = |f(g(α))−f(g(β))| > 0. Ta muốn chỉ ra rằng định nghĩa của hàm liên tục đều không thỏa mãn với ε0 này.
Ta cố định n ∈ N đủ lớn để đảm bảo |In| > 2T và ký hiệu #(g(α)) là số giá trị nguyên của k sao cho g(α) + kT thuộc In. Khi đó, dễ thấy
#(g(α)) > |g(xn)−g(yn)|
Tương tự, ký hiệu #g(β) là số số nguyên k sao cho g(β) +kT thuộc In.
Một lần nữa, ta có #(g(β)) > |g(xn)−g(yn)|
T −1 > 1.
Rõ ràng rằng các giá trị của g(α) + kT (k ∈ Z) xen kẽ nhau với các giá trị của g(β) + kT (k ∈ Z). Do g liên tục, áp dụng liên tiếp Định lý giá trị trung gian 1.1.24, ta có thể tìm được hai dãy uk và vk
trong khoảng [xn, yn] (hoặc [yn, xn]) đều tăng và xen kẽ nhau sao cho
g(uk) = g(α) + lkT và g(vk) = g(β) + skT với lk, sk ∈ Z. Số đoạn có dạng [uk, vk) (hoặc [vk, uk),[vk, uk+1),v.v..) ít nhất là
M := min{2(#(g(α)−1)),2(#(g(β)−1))} ≥ 2.
Các đoạn này tạo thành một phân hoạch của đoạn con củaJn := [xn, yn] (hoặc Jn := [yn, xn]) có độ dài |xn −yn|. Suy ra ít nhất một trong các đoạn có độ dài nhỏ hơn hoặc bằng |xn−yn|
M .
Ta ký hiệu đoạn như vậy là [ζn, ηn] và chú ý rằng |ζn−ηn| ≤ |xn−yn| M < |xn −yn| 2|g(xn)−g(yn)| T −4 = 1 2 T |g(xn)−g(yn)| |xn−yn| − |x 4 n−yn| → 0 khi n → ∞, (2.7) và |f(g(ζn)) −f(g(ηn))| = ε0. Với δ > 0 tùy ý nhưng cố định, ta chọn
n sao cho |ζn−ηn| < δ. Do có (2.7) nên ta có thể chọn được n như vậy. Vớin này, ta có |h(ζn)−h(ηn)| ≥ ε0, điều này chứng minh rằng h không liên tục đều.
Sau đây, là lời giải của Bài toán 11174. Trong lời giải chúng ta sẽ sử dụng một mở rộng của G. Nagy là Định lý 2.3.1.
Giả sử f, g và {xn} thỏa mãn các điều kiện 1-3 trong Bài toán 11174. Ta có thể tìm dãy con{xnk} của xn sao cho xnk+1−xnk ≥ 1với mọi k và
lim k→∞ g(xnk) xnk = ∞ hoặc lim k→∞ g(xnk)
xnk = −∞. Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử xảy ra trường hợp đầu tiên bởi vì trường hợp thứ hai được suy ra từ trường hợp đầu tiên bằng cách đổi g bởi −g. Áp dụng
Định lý 1.2.11 cho hai dãy {g(xnk)} và {xnk}, ta có lim sup
k→∞
g(xnk+1)−g(xnk)
xnk+1 −xnk = ∞.
Điều này chứng minh sự tồn tại của hai dãy trong (ii) như trong Định lý 2.3.1. Do đó, ta có thể áp dụng Định lý 2.3.1 cho f và g và thu được
KẾT LUẬN
Luận văn trình bày được một số nội dung như sau:
- Tổng hợp một số khái niệm, định lý cơ bản về dãy số, hàm số và chuỗi số.
- Trình bày một số dạng cổ điển, dạng mở rộng và một số dạng mới của định lý Stolz-Cesàro.
- Đưa ra một số bài toán ứng dụng trực tiếp của định lý Stolz-Cesàro trong việc tính giới hạn của dãy số, xét sự hội tụ của chuỗi số.
- Đề cập tới các ứng dụng khác của định lý Stolz-Cesàro như: tính tổng hữu hạn của các lũy thừa nguyên, sử dụng định lý Stolz-Cesàro để nghiên cứu tính chất tuần hoàn của hàm số trong bài toán 11147 của P. P. Dalyay.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Lê Phúc Lữ (2013), Tổng hợp các bài toán về dãy số, giới hạn trong các đề thi học sinh giỏi các tỉnh, thành phố năm học 2011-2012 và một số vấn đề liên quan, tổng hợp và giới thiệu.
https://tailieu.vn/doc/tong-hop-cac-bai-toan-ve-day-so-gioi- han-trong-de-thi-hsg-cac-tinh-thanh-pho-nam-hoc-2011-2012-v- 1759568.html
[2] Nguyễn Văn Mậu (2005), Chuyên đề chọn lọc dãy số và áp dụng, Nhà xuất bản Giáo dục.
[3] Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn Minh Tuấn (2006), Tuyển tập Olympic toán sinh viên toàn quốc 1993 -2005, Hà Nội.
[4] Kỷ yếu Olympic toán sinh viên toàn quốc các năm 2014, 2015, 2016, Hội toán học Việt Nam.
Tiếng Anh
[5] P. P. Dalyay(2005), "Problem 11147", Amer. Math. Monthly, 112(8), pp. 43-48.
[6] E. J. Ionascu (2008), "Twin problems from the Monthly and the Stolz- Cesàro Lemma", Crux Mathematicorum with Mathematical May-hem, 34(7), pp. 424-429.
[7] S.H. Kung (2009), "Sums of integer powers via the Stolz-Cesàro the- orem", Coll.Math. J. 40(1), pp. 42-44
[8] C. Mortici (2011), "New forms of Stolz-Cesàro lemma", Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 42(5), pp. 692-696.
[9] G. Nagy, "The Stolz-Cesàro theorem", Preprint, p. 4. Manuscript available electronically at
http://www.math.ksu.edu/Gnagy/snippets/Stolz-Cesàro.pdf
[10] S. Puspană, "Generalizations of Stolz-Cesàro Theorems", This text is available under the Creative Commons Attribution, http: //ser- vices.artofproblemsolving.com/download.php.
[11] O. Stolz (1879), "U’ber die grenzwerte der quotienten", Math. Ann.