2 ành lþ iºm b§t ëng trong khæng gian m¶tric nân
2.1.2Mët sè d¤ng mð rëng kh¡c
C¡c k¸t qu£ sau ÷ñc chùng minh bði L-G Huang v X. Zhang trong [3] v o n«m 2007.
ành lþ 2.3. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân ¦y õ v P l nân chu©n tc vîi h¬ng sè K. Gi£ sû ¡nh x¤ T : X −→ X thäa m¢n i·u ki»n sau
d(T x, T y) 6 k(d(T x, x) +d(T y, y))
vîi måi x, y ∈ X, trong â k ∈ [0, 12) l h¬ng sè. Khi â T câ iºm b§t ëng duy nh§t x∗ ∈ X. Hìn núa vîi méi x ∈ X, ta câ lim
n−→∞Tnx = x∗. Chùng minh. Vîi x0 ∈ X tòy þ, ta x¥y düng d¢y {xn} ⊆ X bði
xn = Tnx0 vîi måi n≥ 1. Khi â ta câ d(xn+1, xn) = d(T xn, T xn−1) 6 k(d(T xn, xn) +d(T xn−1, xn−1)) = k(d(xn+1, xn) + d(xn, xn−1)). Suy ra d(xn+1, xn) 6 k 1−kd(xn, xn−1) =hd(xn, xn−1)
trong â h = 1−kk. Khi â vîi n > m ta câ
d(xn, xm) 6 d(xn, xn−1) +d(xn−1, xn−2) +...+d(xm+1, xm)
6 (hn−1 +hn−2 +...+ hm)d(x1, x0)
6 h
m
1−hd(x1, x0).
i·u n y k²o theo
kd(xn, xm)k ≤ h
m
1−hKkd(x1, x0)k vîi måi n > m. Tø â suy ra lim
n,m−→∞d(xn, xm) = 0. Nh÷ vªy {xn} l d¢y Cauchy trong X. V¼ X l khæng gian nân ¦y õ n¶n tçn t¤i
x∗ ∈ X sao cho lim n−→∞xn = x∗. M°t kh¡c tø b§t ¯ng thùc d(T x∗, x∗) 6 d(T xn, T x∗) +d(T xn, x∗) 6 k(d(T xn, xn) +d(T x∗, x∗)) +d(xn+1, x∗), suy ra d(T x∗, x∗) 6 1 1−k(kd(T xn, xn) +d(xn+1, x ∗)).
Do P l nân chu©n tc vîi h¬ng sè K n¶n kd(T x∗, x∗)k ≤ K 1
1−k(k(kd(xn+1, xn)k+kd(xn+1, x∗)k) −→ 0.
i·u n y k²o theo kd(T x∗, x∗)k = 0. Do â T x∗ = x∗.Vªy x∗ l mët iºm b§t ëng cõa T.
Gi£ sû tçn t¤i y∗ ∈ T sao cho T y∗ = y∗, khi â ta câ
d(x∗, y∗) =d(T x∗, T y∗) 6 k(d(x∗, x∗) +d(y∗, y∗)) = 0.
Suy ra x∗ = y∗. Vªy x∗ l iºm b§t ëng cõa duy nh§t cõa T.
ành lþ 2.4. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân ¦y õ v P l nân chu©n tc vîi h¬ng sè K. Gi£ sû ¡nh x¤ T : X −→ X thäa m¢n i·u ki»n
d(T x, T y) 6 k(d(T x, y) +d(T y, x))
vîi måi x, y ∈ X, trong â k ∈ [0, 12) l h¬ng sè. Khi â T câ iºm b§t ëng duy nh§t x∗ ∈ X. Hìn núa vîi méi x ∈ X, lim
n−→∞Tnx = x∗.
Chùng minh. L§y x0 ∈ X tòy þ, ta x¥y düng d¢y {xn} ⊆ X bði
xn = Tnx0, vîi måi n≥ 1.
Khi â ta câ
d(xn+1, xn) =d(T xn, T xn−1)
6 (d(T xn, xn−1) +d(T xn−1, xn))
Suy ra d(xn+1, xn) 6 k 1−kd(xn, xn−1) =hd(xn, xn−1), trong â h = 1−kk. Do â vîi n > m, d(xn, xm) 6 d(xn, xn−1) + d(xn−1, xn−2) +· · ·+d(xm+1, xm) 6 (hn−1 +hn−2 +· · ·+hm)d(x1, x0) 6 h m 1−hd(x1, x0).
i·u n y k²o theo
kd(xn, xm)k 6 h
m
1−hKkd(x1, x0)k vîi måi n > m. Suy ra
lim
n,m−→∞d(xn, xm) = 0.
Vªy {xn} l d¢y Cauchy trong X. V¼ X l ¦y õ, tçn t¤i x∗ ∈ X sao cho lim n−→∞xn = x∗. M°t kh¡c tø b§t ¯ng thùc d(T x∗, x∗) 6 d(T xn, T x∗) +d(T xn, x∗) 6 k(d(T x∗, xn) +d(T xn, x∗)) +d(xn+1, x∗) 6 k(d(T x∗, x∗) + d(xn, x∗) +d(xn+1, x∗)) +d(xn+1, x∗), ta suy ra d(T x∗, x∗) 6 1 1−k(k(d(T xn, x ∗) +d(xn+1, x∗)) +d(xn+1, x∗)).
Do P l nân chu©n tc vîi h¬ng sè K n¶n kd(T x∗, x∗)k6 K 1
1−k(k(kd(xn, x∗)k+ kd(xn+1, x∗)k).
+ kd(xn+1, x∗)k) −→ 0
khi n −→ ∞. i·u n y k²o theo kd(T x∗, x∗)k = 0. Do â T x∗ = x∗. Vªy x∗ l mët iºm b§t ëng cõa T.
Gi£ sû tçn t¤i y∗ ∈ T sao cho T y∗ = y∗. Khi â ta câ
d(x∗, y∗) = d(T x∗, T y∗)
6 k(d(T x∗, y∗) +d(T y∗, x∗)) = 2kd(x∗, y∗).
Tø â suy ra d(x∗, y∗) = 0. i·u n y k²o theo x∗ = y∗. Vªy x∗ l iºm b§t ëng duy nh§t cõa T. ành lþ ÷ñc chùng minh.
N«m 2008, Sh. Rezapour v R. Hamlbarai ([5]) ¢ c£i ti¸n c¡c k¸t qu£ tr¶n cõa L-G Huang v X. Zhang. Cö thº c¡c t¡c gi£ ¢ chùng minh:
ành lþ 2.5. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân ¦y õ v ¡nh x¤
T : X −→ X thäa m¢n i·u ki»n
d(T x, T y) 6 k(d(T x, x) +d(T y, y))
vîi måi x, y ∈ X, trong â k ∈ [0, 12) l h¬ng sè. Khi â T câ iºm b§t ëng duy nh§t x∗ ∈ X. Hìn núa vîi méi x ∈ X, ta câ lim
n−→∞Tnx = x∗. Chùng minh. Vîi x0 ∈ X tòy þ, ta x¥y düng d¢y {xn} ⊆ X bði
xn = Tnx0 vîi måi n≥ 1.
Chùng minh gièng nh÷ trong ành lþ 2.3 ta câ
d(xn, xm) 6 h
m
1−hd(x1, x0),
vîi måi n > m trong â h = 1−kk. Vîi méi c ∈ E, 0 c, ta chån
N1 ∈ N∗ sao cho vîi måi m > N1 ta câ hm
1−hd(x1, x0) c. Khi â
d(xn, xm) 6 h
m
1−hd(x1, x0) c
vîi måi n > m > N1. Suy ra {xn} l d¢y Cauchy trong X. V¼ X l khæng gian m¶tric nân ¦y õ n¶n tçn t¤i x∗ ∈ X sao cho lim
Ta chån N2 ∈ N∗ sao cho vîi måi n > N2 ta câ
d(xn+1, xn) c(1−k)
2k v d(xn+1, x∗) c(1−k)
2 .
Khi â, vîi måi n > N2 ta câ
d(T x∗, x∗) 6 d(T xn, T x∗) +d(T xn, x∗) 6 k(d(T xn, xn) +d(T x∗, x∗)) +d(xn+1, x∗). Suy ra d(T x∗, x∗) 6 1 1−k(kd(T xn+1, xn) +d(T xn+1, x ∗) c/2 +c/2 = c. Chùng minh quy n¤p ta ÷ñc d(T x∗, x∗) c m
vîi måi m > 1. i·u n y k²o theo c
m −d(T x∗, x∗) ∈ P vîi måi m > 1.
V¼ c
m −→ 0 khi m −→ ∞ v P âng n¶n −d(T x∗, x∗) ∈ P. Chó þ r¬ng
d(T x∗, x∗) ∈ P, do â d(T x∗, x∗) = 0. i·u n y k²o theo T x∗ = x∗, tø â x∗ l iºm b§t ëng cõa T.
Gi£ sû tçn t¤i y∗ ∈ T sao cho T y∗ = y∗, khi â ta câ
d(x∗, y∗) =d(T x∗, T y∗) 6 k(d(T x∗, x∗) +d(T y∗, y∗)) = 0.
Suy ra x∗ = y∗. Vªy x∗ l iºm b§t ëng cõa duy nh§t cõa T.
ành lþ 2.6. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân ¦y õ v ¡nh x¤
T : X −→ X thäa m¢n i·u ki»n
d(T x, T y) 6 k(d(T x, y) +d(T y, x))
vîi måi x, y ∈ X, trong â k ∈ [0, 12) l h¬ng sè. Khi â T câ iºm b§t ëng duy nh§t x∗ ∈ X. Hìn núa vîi méi x ∈ X, lim
n−→∞Tnx = x∗.
Chùng minh. L§y x0 ∈ X tòy þ, ta x¥y düng d¢y {xn} ⊆ X bði
Chùng minh t÷ìng tü nh÷ ành lþ 2.4 ta câ d(xn+1, xn) 6 k 1−kd(xn, xn−1) =hd(xn, xn−1), trong â h = 1−kk. Do â vîi n > m, d(xn, xm) 6 d(xn, xn−1) + d(xn−1, xn−2) +· · ·+d(xm+1, xm) 6 (hn−1 +hn−2 +· · ·+hm)d(x1, x0) 6 h m 1−hd(x1, x0).
Vîi méi c ∈ E, 0 c, ta chån N1 ∈ N∗ sao cho vîi måi m > N1 ta câ
hm
1−hd(x1, x0) c. Khi â
d(xn, xm) 6 h
m
1−hd(x1, x0) c
vîi måi n > m > N1. Suy ra {xn} l d¢y Cauchy trong X. V¼ X l khæng gian m¶tric nân ¦y õ n¶n tçn t¤i x∗ ∈ X sao cho lim
n−→∞xn = x∗.
Ta chån N2 ∈ N∗ sao cho vîi måi n > N2 ta câ
d(xn, x∗) c(1−k)
3 .
Khi â, vîi måi n > N2 ta câ
d(T x∗, x∗) 6 d(T xn, T x∗) +d(T xn, x∗) 6 k(d(T x∗, xn) +d(T xn, x∗)) +d(xn+1, x∗) 6 k(d(T x∗, x∗) +d(T xn, x∗) +d(xn+1, x∗)) +d(xn+1, x∗). Suy ra d(T x∗, x∗) 6 1 1−k(kd(xn, x ∗) +d(xn+1, x∗) +d(xn+1, x∗) c/2 +c/2 +c/3 =c. Chùng minh quy n¤p ta ÷ñc d(T x∗, x∗) c m.
i·u n y k²o theo c
m −d(T x∗, x∗) ∈ P vîi måi m > 1. V¼ c
m −→0 khi
m −→ ∞ v P âng n¶n −d(T x∗, x∗) ∈ P. Chó þ r¬ng d(T x∗, x∗) ∈ P, do â d(T x∗, x∗) = 0. i·u n y k²o theo T x∗ = x∗, tø â x∗ l iºm b§t ëng cõa T.
Gi£ sû tçn t¤i y∗ ∈ T sao cho T y∗ = y∗. Khi â ta câ
d(x∗, y∗) = d(T x∗, T y∗)
6 k(d(T x∗, y∗) +d(T y∗, x∗)) = 2kd(x∗, y∗).
Tø â suy ra d(x∗, y∗) = 0. i·u n y k²o theo x∗ = y∗. Vªy x∗ l iºm b§t ëng duy nh§t cõa T. ành lþ ÷ñc chùng minh.
Ngo i ra, c¡c t¡c gi£ chùng minh th¶m mët k¸t qu£ mîi nh÷ sau: ành lþ 2.7. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân ¦y õ v ¡nh x¤
T : X −→ X thäa m¢n i·u ki»n
d(T x, T y) 6 kd(x, y) +ld(y, T x)
vîi måi x, y ∈ X, trong â k, l ∈ [0,1)l c¡c h¬ng sè. Khi â T câ iºm b§t ëng trong X. Hìn núa n¸u k+l < 1 th¼ iºm b§t ëng â l duy nh§t.
Chùng minh. L§y x0 ∈ X tòy þ, ta x¥y düng d¢y {xn} ⊆ X bði
xn = Tnx0, vîi måi n≥ 1.
Khi â
d(xn+1, xn) = d(T xn, T xn−1) 6 kd(xn, xn−1) +ld(xn, T xn−1) = kd(xn, xn−1) 6 knd(x1, x0).
Do â, vîi n > m ta câ d(xn, xm) 6 d(xn, xn−1) + d(xn−1, xn−2) +· · ·+d(xm+1, xm) 6 (hn−1 +hn−2 +· · ·+hm)d(x1, x0) 6 k m 1−kd(x1, x0).
Vîi méi c ∈ E, 0 c, ta chån N1 ∈ N∗ sao cho km
1−kd(x1, x0) c vîi måi m > N1. Khi â
d(xn, xm) c
vîi måi n > m > N1. Suy ra {xn} l d¢y Cauchy trong X. V¼ X l khæng gian m¶tric nân ¦y õ n¶n tçn t¤i x∗ ∈ X sao cho lim
n−→∞xn = x∗.
Ta chån N2 ∈ N∗ sao cho d(xn, x∗) c
3 vîi måi n > N2. Khi â, vîi måi n > N2 ta câ d(T x∗, x∗) 6 d(xn, T x∗) + d(xn, x∗) 6 d(T xn−1, T x∗) +d(xn, x∗) 6 kd(xn−1, x∗) +ld(T xn−1, x∗) +d(xn, x∗) 6 d(xn−1, x∗) +d(xn, x∗) +d(xn, x∗). Suy ra d(T x∗, x∗) c/3 +c/3 +c/3 = c. Chùng minh quy n¤p ta ÷ñc d(T x∗, x∗) c m.
i·u n y k²o theo c
m −d(T x∗, x∗) ∈ P vîi måi m > 1. V¼ c
m −→0 khi
m −→ ∞ v P âng n¶n −d(T x∗, x∗) ∈ P. Chó þ r¬ng d(T x∗, x∗) ∈ P, do â d(T x∗, x∗) = 0. i·u n y k²o theo T x∗ = x∗, tø â x∗ l iºm b§t ëng cõa T.
Gi£ sû tçn t¤i y∗ ∈ T sao cho T y∗ = y∗ v k +l < 1. Khi â ta câ
d(x∗, y∗) =d(T x∗, T y∗)
6 kd(x∗, y∗) +ld(T x∗, y∗)) = (k+l)d(x∗, y∗).
Tø â suy ra d(x∗, y∗) = 0. i·u n y k²o theo x∗ = y∗. Vªy x∗ l iºm b§t ëng duy nh§t cõa T. ành lþ ÷ñc chùng minh.